Kurs do matury rozszerzonej

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wzór na zamianę podstawy logarytmu.
• Inne wzory związane z logarytmami.
• Zadania dowodowe z logarytmów.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
• Stosowanie potęg i pierwiastków w zadaniach dowodowych.
• Wzory skróconego mnożenia w zadaniach dowodowych.

Materiał dodatkowy (uzupełniający podstawy z wielomianów).
Zadania z tego materiału są poniżej poziomu rozszerzonego, ale trzeba je umieć, dlatego dodaję ten materiał jako dodatkowy - uzupełniający wiedzę podstawową. Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej;
• Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
• Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
• Interpretowanie miejsca zerowego wielomianu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.
• Dzielenie pisemne wielomianu przez dwumian \((x-a)\).
• Równanie wielomianowe dwukwadratowe.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci \(x−a\).
• Twierdzenie Bézouta.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• uczeń stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
  \(\binom{n}{0}=1,\ \binom{n}{1}=n\), \(\binom{n}{n-1}=n\),
  \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\),
  \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \)
• uczeń korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3,\ a^3-b^3,\ a^n-b^n,\ (a+b)^n\) i \((a-b)^n\)

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Nierówności wielomianowe typu: \(W(x)\gt 0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)\lt 0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.
• Metody rysowania wielomianów danych w postaci iloczynowej o różnych stopniach.
• Powtórka z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych i twierdzenia o reszcie.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej.
• Materiał rozszerzony o nierówności typu: \[\frac{x+1}{x(x-1)}+\frac{1}{x+1}\ge\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\] czyli sprowadzających się do prostych nierówności wielomianowych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wzory Viete'a dla równań kwadratowych.
• Wyznaczanie parametru m dla którego rozwiązania równania spełniają określone warunki.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną.
• Własności wartości bezwzględnej.
• Zadania dowodowe z wartością bezwzględną.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Rozwiązywanie metodą podstawiania układów równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci \(\begin{cases} ax+by=e \\ x^2+y^2+cx+dy=f \end{cases} \) lub \(\begin{cases} ax+by=e \\ y=cx^2+dx+f \end{cases} \)
• Rozwiązywanie układów równań kwadratowych postaci: \(\begin{cases} x^2+y^2+ax+by=c \\ x^2+y^2+dx+ey=f \end{cases} \)

Układy równań będą pojawiały się jeszcze w dalszych częściach kursu przy okazji innych zagadnień.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Szkicowanie wykresu funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\), \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\) na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\).
• Wyznaczanie liczby rozwiązań równania w zależności od parametru.

Materiał uzupełniający:

• Przekształcanie wykresu funkcji homograficznej.
• Badanie monotoniczności, asymptot oraz osi symetrii hiperboli.

Uwaga!
CKE nie precyzuje jakie są szczegółowe wymagania odnośnie funkcji homograficznej.
Materiał prezentowany w tej lekcji może wykraczać ponad zakres wymagany na maturze rozszerzonej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń posługuje się złożeniami funkcji.

Zadania na złożenia funkcji jeszcze nigdy nie pojawiły się w żadnym oficjalnym arkuszu, ani materiałach CKE. Są jednak w wytycznych, dlatego omawiam tutaj to zagadnienie. Szansa na pojawienie się tego tematu na maturze jest niewielka.

Materiał uzupełniający:

• Rysowanie i przekształcanie wykresów funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
• Dziedzina funkcji logarytmicznej.
• Badanie liczby rozwiązań równań z parametrem.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Zastosowania praktyczne funkcji wykładniczej i logarytmicznej.
• Typowe zadania na funkcją wykładniczą lub logarytmiczną z warunkami początkowymi i parametrami.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Różne zadania z ciągów, a w szczególności takie, w których występuje jednocześnie ciąg arytmetyczny i geometryczny.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac{1}{n}\), \(\sqrt[n]{a}\) oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Badanie kiedy szereg geometryczny jest zbieżni i obliczanie jego sumy.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Definicje i wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach.
• Zamiana miary łukowej kąta na stopniową i odwrotnie.
• Wykresy funkcji trygonometrycznych, ich okresowość oraz własności.
• Wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.
• Wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych
• Tożsamości trygonometryczne
• Wprowadzenie do równań trygonometrycznych

Ta lekcja zawiera kompleksowe omówienie trygonometrii wymaganej na poziomie rozszerzonym.
Bardzo polecam przerobić, ponieważ stanowi ważną podstawę pod równania trygonometryczne i trygonometrię w geometrii płaskiej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń rozwiązuje równania trygonometryczne.
• Uczeń korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Twierdzenie sinusów i cosinusów.
• Obliczanie kątów trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązywanie trójkątów).
• Różne zależności geometryczne.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Podobieństwo trójkątów.
• Zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.
• Twierdzenie Talesa i odwrotne do Talesa.
• Różne inne własności geometryczne, np. własności czworokątów wpisanych i opisanych na okręgu.

Materiał dodatkowy w którym na \(6\) przykładach pokazuję pomysły na rozwiązywanie zadań z geometrii rozszerzonej. Między innymi:

• Czworokąt wpisany i opisany na okręgu.
• Wykorzystywane podobieństwa trójkątów.
• Sprytne dorysowania.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Dowody matematyczne w planimetrii.
• Powtórka różnych tematów z geometrii płaskiej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Obliczanie współrzędnych wektora oraz jego długości.
• Dodawanie, odejmowanie i porównywanie wektorów.
• Zastosowania wektorów do rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Podstawowe pojęcia dotyczące prostych, odcinków i okręgów.
• Punkty wspólne prostej i okręgu.
• Punkty wspólne dwóch okręgów.
• Równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
• Odległość punktu od prostej w kontekście analizy okręgów.
• Powtórka z wektorów.
• Złożone zadania wykorzystujące różne pojęcia z geometrii analitycznej.

Materiał dodatkowy dla chętnych.

• Punkty wspólne prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Od 2025 roku na maturze rozszerzonej teoretycznie usunięto parabolę z geometrii analitycznej. Nie powinno się coś takiego pojawić.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych

Zauważanie prostych prostopadłych w bryłach przydaje się w klasycznych zadaniach ze stereometrii, gdzie trzeba zauważać trójkąty prostokątne i obliczać z nich długości odcinków. Będziemy to przerabiali w kolejnych częściach kursu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Zaznaczanie i obliczanie kąta między ścianami w graniastosłupach i ostrosłupach.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• wyznaczanie przekrojów sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz obliczanie ich pól, także z wykorzystaniem trygonometrii.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Obliczanie objętości i pola powierzchni walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
• Wykorzystywanie zależność między objętościami brył podobnych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, kombinacje i wariacje.
• Rozwiązywanie przypadków wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.
• Zastosowanie współczynnika dwumianowego (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
• Omówienie ponad 30 sytuacji kombinatorycznych i różnych sposobów rozwiązywania problemów, a także prezentacja sprytnych technik z poziomu ponadrozszerzonego (matematyka dyskretna).

Materiał dodatkowy z kombinatoryki o wzorze Stirlinga i zasadzie włączeń i wyłączeń.
Znajomość technik prezentowanych w tym materiale nie powinna być obecnie potrzebna na maturze rozszerzonej.
Materiał dla chętnych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
• Obliczenia prawdopodobieństwa z wykorzystaniem zdarzenia przeciwnego.
• Zastosowania wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.
• Powtórka i rozszerzenie sytuacji z kombinatoryki.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Prawdopodobieństwo warunkowe
• Prawdopodobieństwo całkowite

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Wzór Bayesa.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Schemat Bernoulliego.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Oblicza granice funkcji (w tym jednostronne).

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Uczeń stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu;

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Definicja pochodnej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej.
• Styczna do wykresu funkcji

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
• Dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x-1}{x+2}\) jest monotoniczna w przedziale \((-\infty ,-2)\).
• Uczeń znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

• Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.