Zadania dowodowe - zbiór zadań
Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (3 pkt)
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).
Zadanie 2. (3 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\le 2\).
Zadanie 3. (3 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x\gt y\), spełniona jest nierówność \[7x^3+4x^2y\ge y^3+2xy^2-x^3\]
Zadanie 4. (3 pkt)
Liczby \(a\), \(b\), \(k\) są całkowite i \(k\) jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby \(a+b\) oraz \(a\cdot b\) są podzielne przez \(k\), to liczba \(a^3-b^3\) też jest podzielna przez \(k\).
Zadanie 5. (3 pkt)
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m − km^3\) jest podzielna przez \(6\).
Zadanie 6. (3 pkt)
Wykaż, że jeżeli \(a>b\ge 1\), to \(\frac{a}{2+a^3}\lt \frac{b}{2+b^3}\).
Zadanie 7. (3 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) zachodzi nierówność \(2x^2+5y^2+10\gt6xy+4y\).
Zadanie 8. (3 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2-6xy+3y^2-2x-4\gt0\).
Zadanie 9. (2 pkt)
Niech \(a\), \(b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2+a=3b^2+b\).
Wykaż, że jeśli \(5\) jest dzielnikiem liczby \(a-b\), to \(25\) również jest dzielnikiem liczby \(a-b\).
Zadanie 10. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwe są nierówności \[2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\lt\frac{1}{\sqrt{n+1}}\quad \text{i}\quad \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\]
Zadanie 11. (3 pkt)
Niech \(a\), \(b\), \(c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0\).
Wykaż, że \(a=b=c=0\).
Zadanie 12. (3 pkt)
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x + y = 4\) i nierówność \(x^3-x^2y\le xy^2-y^3\).
Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).
Zadanie 13. (4 pkt)
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
Zadanie 14. (5 pkt)
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
Zadanie 15. (3 pkt)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) takich, że \(|x|\ne |y|\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{(x-y)(x^3+y^3)}{(x+y)(x^3-y^3)}\gt \frac{1}{3}\).