Drukuj
Czy umiesz wyznaczać równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez zadany punkt? Czy umiesz w tym kontekście wykorzystać wzór na odległość punktu od prostej?
  • (4 pkt) Wyznacz równania stycznych do okręgu: \((x+1)^2+(y-3)^2=4\), przechodzące przez punkt \(A=(1, -4)\).
  • Załóżmy, że równanie stycznej jest postaci: \[ y=ax+b \]

    Uwaga! Pamiętaj, że przy takim założeniu nie uwzględniamy ewentualnych prostych pionowych.

    Ponieważ prosta przechodzi przez punkt \(A=(1,-4)\), to: \[ -4=a\cdot 1+b\\[6pt] b=-4-a \] Zatem szukane styczne mają postać: \[ y=ax-4-a \] Punkt styczności z okręgiem spełnia warunek, że odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi. Środek okręgu ma współrzędne \[ S=(-1,3), \] a promień: \[ r=2 \] Przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej: \[ y=ax-4-a\\[6pt] ax-y-4-a=0 \] Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: \[ \frac{|a\cdot (-1)-3-4-a|}{\sqrt{a^2+1}}=2 \] Upraszczamy: \[ \frac{|-a-3-4-a|}{\sqrt{a^2+1}}=2\\[6pt] \frac{|-2a-7|}{\sqrt{a^2+1}}=2 \] Podnosimy obie strony do kwadratu: \[ (-2a-7)^2=4(a^2+1)\\[6pt] 4a^2+28a+49=4a^2+4\\[6pt] 28a=-45\\[6pt] a=-\frac{45}{28} \] Otrzymaliśmy jedną styczną: \[ y=-\frac{45}{28}x-\frac{67}{28} \] Trzeba jeszcze sprawdzić, czy istnieje styczna pionowa. Prosta pionowa przechodząca przez punkt \(A=(1,-4)\) ma równanie: \[ x=1 \] Odległość środka okręgu od tej prostej jest równa: \[ |-1-1|=2 \] Jest ona równa promieniowi, więc prosta \(x=1\) też jest styczna do tego okręgu. Zatem szukane styczne mają równania: \[ x=1 \] oraz \[ y=-\frac{45}{28}x-\frac{67}{28} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4899Zadanie 4900
Zadanie 4901 (tu jesteś)
Zadanie 4902Zadanie 4903