Drukuj
Czy umiesz wyznaczać
punkty przecięcia prostej z okręgiem oraz
dwóch okręgów?
- (2 pkt) Wyznacz punkty przecięcia prostej \(y=2x-1\) z okręgiem \((x-3)^2+(y-1)^2=4\).
- (3 pkt) Wyznacz punkty wspólne dwóch okręgów: \(o_1: (x-1)^2+y^2=4\) oraz \(o_2: (x-5)^2+(y+2)^2=8\).
- Szukamy punktów wspólnych prostej \(y=2x-1\) oraz okręgu \((x-3)^2+(y-1)^2=4\), zatem zapisujemy układ równań: \[ \left\{ \begin{array}{l} y=2x-1\\[6pt] (x-3)^2+(y-1)^2=4 \end{array} \right. \] Stosujemy metodę podstawiania. Podstawiamy \(y=2x-1\) do równania okręgu: \[ (x-3)^2+\big((2x-1)-1\big)^2=4\\[6pt] (x-3)^2+(2x-2)^2=4\\[6pt] x^2-6x+9+4x^2-8x+4=4\\[6pt] 5x^2-14x+13=4\\[6pt] 5x^2-14x+9=0 \] Obliczamy deltę: \[ \Delta =(-14)^2-4\cdot 5\cdot 9=196-180=16 \] Wyznaczamy rozwiązania: \[ x_1=\frac{14-4}{10}=1,\qquad x_2=\frac{14+4}{10}=\frac{9}{5} \] Obliczamy odpowiadające wartości \(y\): \[ y_1=2\cdot 1-1=1\\[6pt] y_2=2\cdot \frac{9}{5}-1=\frac{18}{5}-\frac{5}{5}=\frac{13}{5} \] Zatem punkty przecięcia to: \[ (1,1)\qquad \text{oraz}\qquad \left(\frac{9}{5},\frac{13}{5}\right) \]
- Szukamy punktów wspólnych okręgów, zatem musimy rozwiązać układ równań: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y^2=4\\[6pt] (x-5)^2+(y+2)^2=8 \end{array} \right. \] Rozwijamy oba równania: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x+1+y^2=4\\[6pt] x^2-10x+25+y^2+4y+4=8 \end{array} \right. \] Upraszczamy: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x+y^2-3=0\\[6pt] x^2-10x+y^2+4y+21=0 \end{array} \right. \] Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego: \[ x^2-10x+y^2+4y+21-(x^2-2x+y^2-3)=0\\[6pt] -8x+4y+24=0\\[6pt] -2x+y+6=0\\[6pt] y=2x-6 \] Podstawiamy do równania pierwszego okręgu: \[ (x-1)^2+(2x-6)^2=4\\[6pt] x^2-2x+1+4x^2-24x+36=4\\[6pt] 5x^2-26x+33=0 \] Obliczamy deltę: \[ \Delta =(-26)^2-4\cdot 5\cdot 33=16 \] Zatem: \[ x_1=\frac{26-4}{10}=\frac{11}{5}, \qquad x_2=\frac{26+4}{10}=3 \] Wyznaczamy odpowiadające wartości \(y\): \[ y_1=2\cdot \frac{11}{5}-6=\frac{22}{5}-\frac{30}{5}=-\frac{8}{5}\\[6pt] y_2=2\cdot 3-6=0 \] Zatem punkty wspólne tych okręgów to: \[ \left(\frac{11}{5},-\frac{8}{5}\right) \qquad \text{oraz} \qquad (3,0) \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzonaSąsiednie zadania
Zadanie 4898Zadanie 4899Zadanie 4900 (tu jesteś)
Zadanie 4901Zadanie 4902