Drukuj
Czy wiesz kiedy dwie proste są równoległe lub prostopadłe?
  • (łatwe) Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej: \(2x+3y+4=0\).
  • (3 pkt) Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których proste: \((m^2-1)x-y+1=0\) oraz \(x-(m^2-3m+2)y+2m=0\) są prostopadłe.
  • Przekształcamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej: \[ 2x+3y+4=0\\[6pt] 3y=-2x-4\\[6pt] y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3} \] Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy \[ a=-\frac{2}{3} \] Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy równy \[ a_1=\frac{3}{2} \] Szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma postać: \[ y=\frac{3}{2}x \]
  • Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych. Pierwsza prosta ma postać: \[ (m^2-1)x-y+1=0\\[6pt] y=(m^2-1)x+1 \] Zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy \[ a_1=m^2-1 \] Druga prosta ma postać: \[ x-(m^2-3m+2)y+2m=0 \] Przypadek I. Współczynnik drugiej prostej przy \(y\) zeruje się, czyli: \[ m^2-3m+2=0\\[6pt] (m-1)(m-2)=0\\[6pt] m=1 \quad \lor \quad m=2 \] Dla \(m=1\) lub \(m=2\) druga prosta jest pionowa. Aby była prostopadła do pierwszej, pierwsza prosta musi być pozioma, czyli jej współczynnik kierunkowy musi być równy \(0\): \[ m^2-1=0\\[6pt] m=1 \quad \lor \quad m=-1 \] Zatem z tego przypadku otrzymujemy: \[ m=1 \] Przypadek II. Współczynnik przy \(y\) nie zeruje się, czyli zakładamy, że: \[ m\neq 1 \quad \land \quad m\neq 2 \] Wtedy drugą prostą możemy zapisać w postaci kierunkowej: \[ y=\frac{1}{m^2-3m+2}x+\frac{2m}{m^2-3m+2} \] Zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy \[ a_2=\frac{1}{m^2-3m+2} \] Proste są prostopadłe, gdy: \[ a_1\cdot a_2=-1 \] Podstawiamy: \[ (m^2-1)\cdot \frac{1}{m^2-3m+2}=-1\\[6pt] m^2-1=-(m^2-3m+2)\\[6pt] m^2-1=-m^2+3m-2\\[6pt] 2m^2-3m+1=0\\[6pt] (2m-1)(m-1)=0\\[6pt] m=\frac{1}{2}_{\in D} \quad \lor \quad m=1_{\notin D} \] Rozwiązanie \(m=1\) nie spełnia założeń przypadku II, ale jest rozwiązaniem przypadku I, zatem ostatecznie mamy rozwiązania: \[ m=1 \quad \lor \quad m=\frac{1}{2} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4897Zadanie 4898
Zadanie 4899 (tu jesteś)
Zadanie 4900Zadanie 4901