W tym zadaniu rónież wyznaczanie dziedziny byłoby skomplikowane (trzeba byłoby rozwiązywać nierówności logarytmiczne), więc zastosujemy metodę starożytnych i na końcu sprawdzimy czy rozwiązanie spełnia warunki.
- \(\log _2\!\left(\log _5(x-1)\right)=1\).
Rozwiązanie: \[\log_5(x-1)=2^{1}\\[6pt] \log_5(x-1)=2\\[6pt] x-1=5^{2}=25\\[6pt] x=26\]
Sprawdzenie warunków: \[ x=26\gt 1\ \Rightarrow\ \log_5(26-1)=\log_5 25=2\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=26}_{\ \in \text{D}}\] - \(\log _x\!\left(\log _2 x+1\right)=0\).
Rozwiązanie: \[\log_2 x+1=x^{0}=1\\[6pt] \log_2 x=0\\[6pt] x=1\]
Sprawdzenie warunków: \[ \text{dla podstawy: } x\gt 0\ \land\ x\ne 1;\ \ \ x=1\ \notin \text{D}. \]
Zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\] - \(\log _4\!\left(\log _2(x+1)+1\right)=\tfrac{1}{2}\).
Rozwiązanie: \[\log_2(x+1)+1=4^{\tfrac{1}{2}}\\[6pt] \log_2(x+1)+1=2\\[6pt] \log_2(x+1)=1\\[6pt] x+1=2\\[6pt] x=1\]
Sprawdzenie warunków: \[ x=1\gt -1\ \Rightarrow\ \log_2(1+1)+1=\log_2 2+1=2\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\] - \(\log _2\!\left(\log _2(x^2-4x+5)\right)=1\).
Rozwiązanie: \[\log_2(x^2-4x+5)=2\\[6pt] x^2-4x+5=2^{2}=4\\[6pt] x^2-4x+1=0\\[6pt] x=2-\sqrt{3}\quad \lor \quad x=2+\sqrt{3}\]
Sprawdzenie warunków: \[ \begin{aligned} &x=2\pm\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x^2-4x+5=4\ \Rightarrow\ \log_2(4)=2\gt 0. \end{aligned} \]
Zatem: \[\boxed{x=2-\sqrt{3}}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=2+\sqrt{3}}_{\ \in \text{D}}\] - \(\log _{\sqrt{3}}\!\left(1+\log _9(\log _3 x)\right)=0\).
Rozwiązanie: \[1+\log_9(\log_3 x)=(\sqrt{3})^{0}=1\\[6pt] \log_9(\log_3 x)=0\\[6pt] \log_3 x=9^{0}=1\\[6pt] x=3\]
Sprawdzenie warunków: \[ \log_3 3=1\gt 0,\quad 1+\log_9(1)=1\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=3}_{\ \in \text{D}}\] - \(\log _{\tfrac{1}{2}}\!\left(\log _2(\log _2 x+1)\right)=-1\).
Rozwiązanie: \[\log_2(\log_2 x+1)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2\\[6pt] \log_2 x+1=2^{2}=4\\[6pt] \log_2 x=3\\[6pt] x=8\]
Sprawdzenie warunków: \[ x=8\gt 0,\quad \log_2 8+1=3+1=4\gt 0,\quad \log_2(4)=2\gt 0. \]
Zatem: \[\boxed{x=8}_{\ \in \text{D}}\]