Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x+4\gt 0\ &\land\ 3x-2\gt 0\\[6pt] x\gt -4\ &\land\ x\gt \tfrac{2}{3} \end{split} \] Zatem: \[ x\gt \tfrac{2}{3} \]

Podstawy logarytmów są równe, więc porównujemy liczby logarytmowane: \[ x+4=3x-2\\[6pt] 2x=6\\[6pt] \boxed{x=3}_{\ \in \text{D}} \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x-2\gt 0\ &\land\ x+1\gt 0\\[6pt] x\gt 2\ &\land\ x\gt -1 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 2 \]

Dodajemy logarytmy o tej samej podstawie: \[ \log_{\tfrac{1}{5}}\!\big((x-2)(x+1)\big)=-1\\[6pt] (x-2)(x+1)=5\\[6pt] x^2-x-2=5\\[6pt] x^2-x-7=0\\[6pt] \boxed{x=\tfrac{1+\sqrt{29}}{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \tfrac{1-\sqrt{29}}{2}_{\ \notin \text{D}} \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x+3\gt 0\ &\land\ 2-x\gt 0\\[6pt] x\gt -3\ &\land\ x\lt 2 \end{split} \] Zatem: \[ -3\lt x\lt 2 \]

Odejmujemy logarytmy: \[ \log_{\tfrac{1}{2}}\!\left(\frac{x+3}{\,2-x\,}\right)=2\\[6pt] \frac{x+3}{\,2-x\,}=\tfrac{1}{4}\\[6pt] 4(x+3)=2-x\\[6pt] 4x+12=2-x\\[6pt] 5x=-10\\[6pt] \boxed{x=-2}_{\ \in \text{D}} \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x\gt 0\ &\land\ x+4\gt 0\\[6pt] x\gt 0\ &\land\ x\gt -4 \end{split} \] Zatem: \[ x\gt 0 \]

Dodajemy logarytmy po lewej stronie: \[ \log_2\big(x(x+4)\big)=\log_2(16x)\\[6pt] x(x+4)=16x\\[6pt] x^2+4x=16x\\[6pt] x^2-12x=0\\[6pt] \boxed{x=12}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad 0_{\ \notin \text{D}} \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} 2x+1\gt 0\ &\land\ 1-x\gt 0\ &\land\ 2x\gt 0\\[6pt] x\gt -\tfrac{1}{2}\ &\land\ x\lt 1\ &\land\ x\gt 0 \end{split} \] Zatem: \[ 0\lt x\lt 1 \]

Odejmujemy logarytmy (ta sama podstawa): \[ \log_3\!\left(\frac{2x+1}{\,1-x\,}\right)=\log_3(2x)\\[6pt] \frac{2x+1}{\,1-x\,}=2x\\[6pt] 2x+1=2x-2x^2\\[6pt] 1=-2x^2\\[6pt] \boxed{\text{brak rozwiązań}} \]

Wyznaczamy dziedzinę: \[ \begin{split} x+3\gt 0\ &\land\ 7x-2\gt 0\ &\land\ 2x-1\gt 0\\[6pt] x\gt -3\ &\land\ x\gt \tfrac{2}{7}\ &\land\ x\gt \tfrac{1}{2} \end{split} \] Zatem: \[ x\gt \tfrac{1}{2} \]

Odejmujemy logarytmy po prawej stronie: \[ \log(x+3)=\log\!\left(\frac{7x-2}{\,2x-1\,}\right)\\[6pt] x+3=\frac{7x-2}{\,2x-1\,}\\[6pt] (x+3)(2x-1)=7x-2\\[6pt] 2x^2+5x-3=7x-2\\[6pt] 2x^2-2x-1=0\\[6pt] \boxed{x=\tfrac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \tfrac{1-\sqrt{3}}{2}_{\ \notin \text{D}} \]