Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} x\gt 0 \quad \land &\quad x\ne 1 \quad \land &\quad 2x-15\gt 0\\[6pt] & &\quad x\gt \frac{15}{2} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt \frac{15}{2}\]
Z definicji logarytmu mamy: \[x^{2}=2x-15\\[6pt] x^{2}-2x+15=0\\[6pt] \Delta=4-60=-56\]
Zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} 3x-1\gt 0 \quad &\land \quad 3x-1\ne 1 \quad &\land \quad 2x-1\gt 0\\[6pt] x\gt \tfrac{1}{3} \quad &\land \quad x\ne \tfrac{2}{3} \quad &\land \quad x\gt \tfrac{1}{2} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt \tfrac{1}{2}\quad \land \quad x\ne \tfrac{2}{3}\]
Z definicji logarytmu: \[2x-1=1\\[6pt] 2x=2\\[6pt] \boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\]
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} 2x+1\gt 0 \quad &\land \quad 2x+1\ne 1 \quad &\land \quad \frac{1}{3x}\gt 0\\[6pt] x\gt -\tfrac{1}{2} \quad &\land \quad x\ne 0 \quad &\land \quad x\gt 0 \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt 0\]
Z definicji logarytmu: \[(2x+1)^{-1}=\frac{1}{3x}\\[6pt] \frac{1}{2x+1}=\frac{1}{3x}\\[6pt] 3x=2x+1\\[6pt] \boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\]
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} x-2\gt 0 \quad &\land \quad x-2\ne 1 \quad &\land \quad (x-2)^2\gt 0\\[6pt] x\gt 2 \quad &\land \quad x\ne 3 \quad &\land \quad x\ne 2 \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\gt 2\quad \land \quad x\ne 3\]
Z definicji logarytmu: \[(x-2)^2=(x-2)^1\\[6pt] (x-2)^2-(x-2)=0\\[6pt] (x-2)\big((x-2)-1\big)=0\\[6pt] x=2\quad \lor \quad x=3\]
Oba otrzymane wyniki nie należą do dziedziny, zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} x^2+1\gt 0 \quad &\land \quad x^2+1\ne 1 \quad &\land \quad x^2+7\gt 0\\[6pt] x\in \mathbb{R} \quad &\land \quad x\ne 0 \quad &\land \quad x\in \mathbb{R} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\]
Z definicji logarytmu: \[(x^2+1)^2=x^2+7\\[6pt] x^4+2x^2+1=x^2+7\\[6pt] x^4+x^2-6=0\\[6pt] (x^2+3)(x^2-2)=0\\[6pt] x^2=2\\[6pt] \boxed{x=\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}}\]
Założenia dla podstawy i wyrażenia logarytmowanego, to: \[ \begin{split} 2x^2-1\gt 0 \quad &\land \quad 2x^2-1\ne 1 \quad &\land \quad 6x^2-3\gt 0\\[6pt] x^2\gt \tfrac{1}{2} \quad &\land \quad x^2\ne 1 \quad &\land \quad x^2\gt \tfrac{1}{2} \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[x^2\gt \tfrac{1}{2}\quad \land \quad x^2\ne 1\]
Z definicji logarytmu: \[(2x^2-1)^2=6x^2-3\\[6pt] (2x^2-1)^2-3(2x^2-1)=0\\[6pt] (2x^2-1)\big((2x^2-1)-3\big)=0\\[6pt] 2x^2-1=0\ \lor\ 2x^2-4=0\\[6pt] x^2=\tfrac{1}{2}\ \lor\ x^2=2\\[6pt] x^2=\tfrac{1}{2}\ \text{(poza dziedziną)}\quad \lor \quad x^2=2\]
Zatem: \[\boxed{x=\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}}\]