Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]
Niech \(t=\log_{\,\tfrac14}x\). Wtedy: \[t(3t-5)=6\\[6pt] 3t^2-5t-6=0\\[6pt] t=\frac{5\pm\sqrt{97}}{6}\] Powrót do \(x\): \[x=\left(\tfrac14\right)^{t}\\[6pt] x=4^{-\frac{5+\sqrt{97}}{6}}\quad \lor \quad x=4^{-\frac{5-\sqrt{97}}{6}}\]
Sprawdzenie warunków: obie wartości są \(\gt 0\). Zatem: \[\boxed{x=4^{-\frac{5+\sqrt{97}}{6}}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=4^{-\frac{5-\sqrt{97}}{6}}}_{\ \in \text{D}}\]Wyznaczamy dziedzinę: \[x-3\gt 0\\[6pt] x\gt 3\]
Niech \(t=\log_{16}(x-3)\). Wtedy: \[5t^2-2=0\\[6pt] t=\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}\] Powrót do \(x\): \[x-3=16^{\,t}\\[6pt] x=3+16^{\,\sqrt{\tfrac{2}{5}}}\quad \lor \quad x=3+16^{-\sqrt{\tfrac{2}{5}}}\]
Sprawdzenie warunków: obie wartości spełniają \(x\gt 3\). Zatem: \[\boxed{x=3+16^{\,\sqrt{\tfrac{2}{5}}}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=3+16^{-\sqrt{\tfrac{2}{5}}}}_{\ \in \text{D}}\]Wyznaczamy dziedzinę: \[\log_{\sqrt{5}}x\ne 0\\[6pt] x\gt 0\]
Ponieważ \(\log_{4}16=2\), niech \(t=\log_{\sqrt{5}}x\). Mamy: \[\frac{3t-6}{t}=2\\[6pt] 3-\frac{6}{t}=2\\[6pt] \frac{6}{t}=1\\[6pt] t=6\] Powrót do \(x\): \[x=(\sqrt{5})^{6}=5^{3}=125\]
Sprawdzenie warunków: \(x=125\gt 0\) i \(\log_{\sqrt{5}}125=6\ne 0\). Zatem: \[\boxed{x=125}_{\ \in \text{D}}\]Wyznaczamy dziedzinę: \[x+2\gt 0\\[6pt] x\gt -2\]
Niech \(t=\log_{7}(x+2)\). Wtedy: \[3t^{3}-t-2=0\\[6pt] (t-1)(3t^{2}+3t+2)=0\\[6pt] t=1\] Powrót do \(x\): \[x+2=7^{1}\\[6pt] x=5\]
Sprawdzenie warunków: \(5\gt -2\). Zatem: \[\boxed{x=5}_{\ \in \text{D}}\]Wyznaczamy dziedzinę: \[x\gt 0\]
Niech \(t=\log_{\,\tfrac13}x\). Wtedy: \[t(t-4)=-3\\[6pt] t^{2}-4t+3=0\\[6pt] t=1\quad \lor \quad t=3\] Powrót do \(x\): \[x=\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac{1}{3}\quad \lor \quad x=\left(\tfrac13\right)^{3}=\tfrac{1}{27}\]
Sprawdzenie warunków: obie wartości są \(\gt 0\). Zatem: \[\boxed{x=\tfrac{1}{3}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=\tfrac{1}{27}}_{\ \in \text{D}}\]Założenia dla podstawy i argumentu: \[ \begin{split} &x^{2}-4\gt 0\ &\land\ &\ x^{2}-4\ne 1\ &\land\ &\ x^{2}\gt 0\\[6pt] &x^{2}\gt 4\ &\land\ &\ x^{2}\ne 5\ &\land\ &\ x\ne 0 \end{split} \] Zatem dziedzina to: \[ (-\infty,-2)\cup(2,\infty)\setminus\left\{-\sqrt5,\sqrt5\right\} \]
Z definicji logarytmu: \[ (x^{2}-4)^{2}=x^{2}\\[6pt] x^{4}-8x^{2}+16=x^{2}\\[6pt] x^{4}-9x^{2}+16=0 \]
Podstawiamy: \[ t=x^{2},\qquad t\gt 4 \] Otrzymujemy: \[ t^{2}-9t+16=0\\[6pt] \Delta=81-64=17\\[6pt] t=\frac{9-\sqrt{17}}{2}\quad \lor \quad t=\frac{9+\sqrt{17}}{2} \] Ponieważ \[ \frac{9-\sqrt{17}}{2}\lt 4, \] to wartość ta nie spełnia warunku \(t\gt 4\), więc ją odrzucamy. Zatem: \[ t=\frac{9+\sqrt{17}}{2} \]
Wracamy do zmiennej \(x\): \[ x^{2}=\frac{9+\sqrt{17}}{2} \]
Zatem: \[ \boxed{x=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}}} \]