W tym zadaniu wyznaczanie dziedziny byłoby skomplikowane (trzeba byłoby rozwiązywać nierówności logarytmiczne), więc możesz zastosować
i na końcu sprawdzić czy rozwiązanie spełnia warunki.
- \(\log _2\left(\log _3 x\right)=0\).
Rozwiązanie: \[\log_3 x=2^0\\[6pt] \log_3 x=1\\[6pt] x=3^1\\[6pt] x=3\]
Sprawdzenie warunków: \(x\gt 0\) oraz \(\log_3 3=1\gt 0\) (liczba logarytmowana dodatnia), więc \[\boxed{x=3}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{\sqrt{3}}\!\left(3+2\log _4x\right)=4\).
Rozwiązanie: \[3+2\log_4 x=(\sqrt{3})^4\\[6pt] 3+2\log_4 x=9\\[6pt] 2\log_4 x=6\\[6pt] \log_4 x=3\\[6pt] x=4^3\\[6pt] x=64\]
Sprawdzenie warunków: \(x=64\gt 0\) oraz \(3+2\log_4 64=9\gt 0\). Zatem \[\boxed{x=64}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{3}\!\left(3+2\log _4\!\left(\log _2 x+32\right)\right)=2\).
Rozwiązanie: \[3+2\log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=3^{2}\\[6pt] 3+2\log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=9\\[6pt] 2\log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=6\\[6pt] \log_4\!\left(\log_2 x+32\right)=3\\[6pt] \log_2 x+32=4^{3}\\[6pt] \log_2 x+32=64\\[6pt] \log_2 x=32\\[6pt] x=2^{32}\]
Sprawdzenie warunków: \(x=2^{32}\gt 0\), \(\log_2 x+32=64\gt 0\), a cały argument zewnętrznego logarytmu równy \(9\gt 0\). Zatem \[\boxed{x=2^{32}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{\sqrt{\frac{1}{2}}}\!\left[\log _2\!\left(\log_2 x+2\right)\right]=-2\).
Rozwiązanie: \[\log_2\!\left(\log_2 x+2\right)=\left(\sqrt{\tfrac{1}{2}}\right)^{-2}\\[6pt] \log_2\!\left(\log_2 x+2\right)=(\sqrt{2})^{2}\\[6pt] \log_2\!\left(\log_2 x+2\right)=2\\[6pt] \log_2 x+2=2^{2}\\[6pt] \log_2 x+2=4\\[6pt] \log_2 x=2\\[6pt] x=4\]
Sprawdzenie warunków: \[ x=4\gt 0,\quad \log_2 4+2=2+2=4\gt 0,\quad \log_2(\,\log_2 4+2\,)=\log_2 4=2\gt 0. \] Zatem: \[\boxed{x=4}_{\ \in \text{D}}\]