- \(\log _8(|x-3|+1)=\frac{1}{3}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[|x-3|+1\gt 0\\[6pt] x\in\mathbb{R}\]
Z definicji logarytmu: \[|x-3|+1=8^{\frac{1}{3}}\\[6pt] |x-3|+1=2\\[6pt] |x-3|=1\\[6pt] x-3=1\quad \lor \quad x-3=-1\\[6pt] \boxed{x=2}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=4}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{\frac{3}{7}}|x|=-2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[|x|\gt 0\\[6pt] x\ne 0\]
Z definicji logarytmu: \[|x|=\left(\tfrac{3}{7}\right)^{-2}\\[6pt] |x|=\left(\tfrac{7}{3}\right)^{2}\\[6pt] |x|=\frac{49}{9}\\[6pt] \boxed{x=\frac{49}{9}}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=-\frac{49}{9}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{16}(|x+3|-2)=0{,}25\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[|x+3|-2\gt 0\\[6pt] |x+3|\gt 2\\[6pt] x\gt -1\quad \lor \quad x\lt -5\]
Z definicji logarytmu: \[|x+3|-2=16^{0{,}25}\\[6pt] |x+3|-2=2\\[6pt] |x+3|=4\\[6pt] \boxed{x=1}_{\ \in \text{D}}\quad \lor \quad \boxed{x=-7}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{\sqrt{5}}(2-|1-3x|)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[2-|1-3x|\gt 0\\[6pt] |1-3x|\lt 2\\[6pt] -2\lt 1-3x\lt 2\\[6pt] -3\lt -3x\lt 1\\[6pt] -\frac{1}{3}\lt x\lt 1\]
Z definicji logarytmu: \[2-|1-3x|=(\sqrt{5})^{2}\\[6pt] 2-|1-3x|=5\\[6pt] -|1-3x|=3\\[6pt] |1-3x|=-3\]
Sprzeczność, bo \(|1-3x|\ge 0\) dla \(x\in\mathbb{R}\).
Zatem: \[\boxed{\text{brak rozwiązań}}\]