- \(\log _5 \frac{1}{3x}=2\).
Wyznaczamy dziedzinę (liczba logarytmowana musi być dodatnia): \[\frac{1}{3x}\gt 0\\[6pt] 3x\gt 0\\[6pt] x\gt 0\]
Z definicji logarytmu: \[\frac{1}{3x}=5^{2}\\[6pt] \frac{1}{3x}=25\\[6pt] 3x=\frac{1}{25}\\[6pt] \boxed{x=\frac{1}{75}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{\frac{1}{4}} \frac{3}{2x+1}=-2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{3}{2x+1}\gt 0\\[6pt] 2x+1\gt 0\\[6pt] x\gt -\frac{1}{2}\]
Z definicji logarytmu: \[\frac{3}{2x+1}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-2}\\[6pt] \frac{3}{2x+1}=16\\[6pt] 3=16(2x+1)\\[6pt] 32x=-13\\[6pt] \boxed{x=-\frac{13}{32}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{\frac{1}{5}} \frac{5}{x+1}=-3\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{5}{x+1}\gt 0\\[6pt] x+1\gt 0\\[6pt] x\gt -1\]
Z definicji logarytmu: \[\frac{5}{x+1}=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{-3}\\[6pt] \frac{5}{x+1}=125\\[6pt] 5=125(x+1)\\[6pt] x+1=\frac{1}{25}\\[6pt] \boxed{x=-\frac{24}{25}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{2} \frac{2}{1-x}=-\frac{1}{2}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{2}{1-x}\gt 0\\[6pt] 1-x\gt 0\\[6pt] x\lt 1\]
Z definicji logarytmu: \[\frac{2}{1-x}=2^{-\frac{1}{2}}\\[6pt] \frac{2}{1-x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] 2=\frac{1-x}{\sqrt{2}}\\[6pt] 2\sqrt{2}=1-x\\[6pt] \boxed{x=1-2\sqrt{2}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _{2}\left(x^2-1\right)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x^2-1\gt 0\\[6pt] (x-1)(x+1)\gt 0\\[6pt] x\gt 1\quad \lor \quad x\lt -1\]
Z definicji logarytmu: \[x^2-1=2^{2}\\[6pt] x^2-1=4\\[6pt] x^2=5\\[6pt] \boxed{x=\sqrt{5}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-\sqrt{5}}_{\ \in \text{D}}\]
- \(\log _2 \frac{1}{x^2+1}=0\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[\frac{1}{x^2+1}\gt 0\\[6pt] x\in\mathbb{R}\]
Z definicji logarytmu: \[\frac{1}{x^2+1}=2^{0}\\[6pt] \frac{1}{x^2+1}=1\\[6pt] x^2+1=1\\[6pt] \boxed{x=0}_{\ \in \text{D}}\]