- \(\log _{2}\left(x^2+3x+2\right)=0\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x^2+3x+2\gt 0\\[6pt] (x+1)(x+2)\gt 0\\[6pt] x\lt -2\quad \lor \quad x\gt -1\]
Z definicji logarytmu: \[x^2+3x+2=2^{0}\\[6pt] x^2+3x+2=1\\[6pt] x^2+3x+1=0\]
\[\boxed{x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}_{\ \in \text{D}}\] - \(\log _4\left(x^2+1\right)=\frac{1}{2}\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[x\in\mathbb{R}\]
Z definicji logarytmu: \[x^2+1=4^{\frac{1}{2}}\\[6pt] x^2+1=2\\[6pt] x^2=1\]
\[\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=-1}_{\ \in \text{D}}\] - \(\log _{\sqrt{3}}\left(1-3 x^2\right)=4\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[1-3x^2\gt 0\\[6pt] 3x^2\lt 1\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{3}}\lt x \lt \frac{1}{\sqrt{3}}\]
Z definicji logarytmu: \[1-3x^2=(\sqrt{3})^{4}\\[6pt] 1-3x^2=9\\[6pt] -3x^2=8\\[6pt] x^2=-\frac{8}{3}\]
\[\boxed{\text{brak rozwiązań w }\mathbb{R}}\] - \(\log _{2 \sqrt{2}}\left(5+4 x-x^2\right)=2\).
Wyznaczamy dziedzinę: \[5+4x-x^2\gt 0\\[6pt] -x^2+4x+5\gt 0\\[6pt] x^2-4x-5\lt 0\\[6pt] (x+1)(x-5)\lt 0\\[6pt] -1\lt x\lt 5\]
Z definicji logarytmu: \[5+4x-x^2=(2\sqrt{2})^{2}\\[6pt] 5+4x-x^2=8\\[6pt] -x^2+4x-3=0\\[6pt] x^2-4x+3=0\]
\[\boxed{x=1}_{\ \in \text{D}} \quad \lor \quad \boxed{x=3}_{\ \in \text{D}}\]