- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt{x+1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\] Stosujemy regułę iloczynu, gdzie \(u(x)=(x+1)^{\frac12}\), \(v(x)=x^{-\frac12}-1\). Funkcje złożone przy ich obliczaniu to dla \(u\): \(g(u)=u^{\frac12}\), \(h(x)=x+1\), oraz dla \(v\) części \(x^{-\frac12}\): \(g(u)=u^{-\frac12}\), \(h(x)=x\).
\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) \(=\frac12(x+1)^{-\frac12}\bigl(x^{-\frac12}-1\bigr)+(x+1)^{\frac12}\bigl(-\tfrac12x^{-\frac32}\bigr)\) \(=\frac{x^{-\frac12}-1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+1}}{2x^{\frac32}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\bigl(x^{\frac13}+2x\bigr)\left(1+(x^2+3x)^{\frac13}\right)\] Reguła iloczynu: \(u(x)=x^{\frac13}+2x\), \(v(x)=1+(x^2+3x)^{\frac13}\). Przy \(u\) składnik \(x^{\frac13}\) to złożenie \(g(u)=u^{\frac13}\), \(h(x)=x\). Przy \(v\) składnik \((x^2+3x)^{\frac13}\) to złożenie \(g(u)=u^{\frac13}\), \(h(x)=x^2+3x\).
\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) \(=\bigl(\tfrac13x^{-\frac23}+2\bigr)\bigl(1+(x^2+3x)^{\frac13}\bigr)+(x^{\frac13}+2x)\cdot\frac13(x^2+3x)^{-\frac23}(2x+3)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{2}{x^3-1}\] Możemy zapisać równoważnie: \[f(x)=2(x^3-1)^{-1}\] Liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie \(g(u)=u^{-1}\), \(h(x)=x^3-1\):
\(f'(x)=2\bigl((x^3-1)^{-1}\bigr)'=2\bigl(-1\,(x^3-1)^{-2}\bigr)\cdot3x^2\) \(=-6x^2(x^3-1)^{-2}\) \(=-\frac{6x^2}{(x^3-1)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{2x^4}{9-x^2}\] Stosujemy regułę ilorazu z \(u(x)=2x^4\), \(v(x)=9-x^2\):
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{8x^3(9-x^2)-2x^4(-2x)}{(9-x^2)^2}\) \(=\frac{72x^3-8x^5+4x^5}{(9-x^2)^2}\) \(=\frac{72x^3-4x^5}{(9-x^2)^2}\) \(=\frac{4x^3(18-x^2)}{(9-x^2)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{1+x^2}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=(1+x^2)^{-\frac13}\] Liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie \(g(u)=u^{-\frac13}\), \(h(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\bigl((1+x^2)^{-\frac13}\bigr)'=-\frac13(1+x^2)^{-\frac43}\cdot2x\) \(=-\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac43}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^4-x^8}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=(1-x^4-x^8)^{-\frac12}\] Liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie \(g(u)=u^{-\frac12}\), \(h(x)=1-x^4-x^8\):
\(f'(x)=\bigl((1-x^4-x^8)^{-\frac12}\bigr)'=-\frac12(1-x^4-x^8)^{-\frac32}\cdot(-4x^3-8x^7)\) \(=\frac{4x^3+8x^7}{2(1-x^4-x^8)^{\frac32}}\) \(=\frac{2x^3(1+2x^4)}{(1-x^4-x^8)^{\frac32}}\)