- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt{\ln x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^{\frac12}\), a wewnętrzną \(h(x)=\ln x\):
\(f'(x)=((\ln x)^{\frac12})'\) \(=\frac12(\ln x)^{-\frac12}\cdot\frac{1}{x}\) \(=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{\ln x}{1+x^2}\] Stosujemy regułę ilorazu, gdzie \(u(x)=\ln x\), a \(v(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{\frac{1}{x}(1+x^2)-\ln x\cdot2x}{(1+x^2)^2}\) \(=\frac{1+x^2-2x^2\ln x}{x(1+x^2)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln(\sin x)\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie zewnętrzna jest \(g(u)=\ln u\), a wewnętrzna \(h(x)=\sin x\):
\(f'(x)=(\ln(\sin x))'\) \(=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x\) \(=\cot x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\log_{3}x\] Stosujemy wzór na pochodną logarytmu: \[(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{x\ln a}\] Zatem:
\(f'(x)=(\log_{3}x)'\) \(=\frac{1}{x\ln3}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\log_{5}(x^2-1)\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie zewnętrzna jest \(g(u)=\log_{5}u\), a wewnętrzna \(h(x)=x^2-1\):
\(f'(x)=(\log_{5}(x^2-1))'\) \(=\frac{1}{(x^2-1)\ln5}\cdot2x\) \(=\frac{2x}{(x^2-1)\ln5}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\left(\arctan\sqrt{1+x^2}\right)\] Tu mamy potrójne złożenie. Funkcja zewnętrzna \(g_1(u)=\ln u\), wewnętrzna \(h_1(x)=\arctan\sqrt{1+x^2}\). Następnie \(h_1\) jest złożeniem \(g_2(v)=\arctan v\), \(h_2(x)=\sqrt{1+x^2}\). Wreszcie \(h_2\) to złożenie \(g_3(w)=w^{\frac12}\), \(h_3(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=(\ln(\arctan\sqrt{1+x^2}))'\) \(=\frac{1}{\arctan\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{1+x^2})^2}\cdot\frac12(1+x^2)^{-\frac12}\cdot2x\) \(=\frac{x}{(2+x^2)\sqrt{1+x^2}\,\arctan\sqrt{1+x^2}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=10^x\] Stosujemy wzór na pochodną funkcji wykładniczej: \[(a^x)' = a^x\ln(a)\] Zatem:
\(f'(x)=10^x\ln10\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x}{4^x}\] Stosujemy regułę ilorazu, gdzie \(u(x)=x\), \(v(x)=4^x\):
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{1\cdot4^x - x\cdot4^x\ln4}{4^{2x}}\) \(=\frac{1-x\ln4}{4^x}\)