- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=e^{x^2+3x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(x)=e^x\), a wewnętrzną \(h(x)=x^2+3x\):
\(f'(x)=(e^{x^2+3x})'\) \(=e^{x^2+3x}\cdot(x^2+3x)'\) \(=e^{x^2+3x}\cdot(2x+3)\) \(=(2x+3)e^{x^2+3x}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=e^{\sin x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(x)=e^x\), a wewnętrzną \(h(x)=\sin x\):
\(f'(x)=(e^{\sin x})'\) \(=e^{\sin x}\cdot(\sin x)'\) \(=e^{\sin x}\cdot\cos x\) \(=e^{\sin x}\cos x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=e^{\sin^2 x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(x)=e^x\), a wewnętrzną \(h(x)=\sin^2 x=(\sin x)^2\). Przy liczeniu pochodnej funkcji \(h(x)\) traktujemy ją jako złożenie \(h_1(x)=x^2\), \(h_2(x)=\sin x\):
\(f'(x)=(e^{\sin^2 x})'\) \(=e^{\sin^2 x}\cdot(\sin^2 x)'\) \(=e^{\sin^2 x}\cdot2\sin x\cos x\) \(=2\sin x\cos x\,e^{\sin^2 x}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sqrt{x^2+4}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\left(x^2+4\right)^{\frac12}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^{\frac12}\), a wewnętrzną \(h(x)=x^2+4\):
\(f'(x)=\left((x^2+4)^{\frac12}\right)'\) \(=\frac12\left(x^2+4\right)^{-\frac12}\cdot(2x)\) \(=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^3}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\left(x-2\right)^{-\frac34}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^{-\frac34}\), a wewnętrzną \(h(x)=x-2\):
\(f'(x)=\left((x-2)^{-\frac34}\right)'\) \(=-\frac34(x-2)^{-\frac74}\cdot1\) \(=-\frac{3}{4}(x-2)^{-\frac74}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\cos x\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=\ln u\), a wewnętrzną \(h(x)=\cos x\):
\(f'(x)=(\ln\cos x)'\) \(=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)\) \(=-\tan x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arcsin(x^3)\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=\arcsin u\), a wewnętrzną \(h(x)=x^3\):
\(f'(x)=(\arcsin(x^3))'\) \(=\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\cdot(3x^2)\) \(=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arctan x\cdot\arctan\frac{1}{x}\] Stosujemy pochodną iloczynu. W drugim czynniku liczymy pochodną z funkcji złożonej, gdzie zewnętrzną jest \(g(u)=\arctan u\), a wewnętrzną \(h(x)=\frac1x\):
\(f'(x)=(\arctan x)'\arctan\frac1x + \arctan x\cdot(\arctan\frac1x)'\) \(=\frac{1}{1+x^2}\arctan\frac1x + \arctan x\cdot\frac{1}{1+(\frac1x)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\frac{2x}{3x+4}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\ln(2x)-\ln(3x+4)\] Liczymy pochodną sumy, gdzie każdą część traktujemy jako złożenie \(g(u)=\ln u\), \(h_1(x)=2x\), \(h_2(x)=3x+4\):
\(f'(x)=(\ln(2x))' - (\ln(3x+4))'\) \(=\frac{1}{x} - \frac{3}{3x+4}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{\sin x + \cos x}{\sin3x}\] Stosujemy pochodną ilorazu. W mianowniku liczymy pochodną z funkcji złożonej: zewnętrznej \(g(u)=\sin u\), wewnętrznej \(h(x)=3x\):
\(f'(x) = \frac{(\sin x + \cos x)'\,\sin3x - (\sin x + \cos x)\cdot(\sin3x)'}{\sin^2 3x}\) \(=\frac{(\cos x - \sin x)\sin3x - (\sin x + \cos x)\cdot3\cos3x}{\sin^2 3x}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\] Możemy zapisać: \[f(x)=\tfrac12\bigl(\ln(1+\cos x)-\ln(1-\cos x)\bigr)\] Liczymy pochodną sumy złożonej: dla każdej części zewnętrzna \(g(u)=\ln u\), wewnętrzna odpowiednio \(h_1(x)=1+\cos x\), \(h_2(x)=1-\cos x\):
\(f'(x)=\frac12\Bigl(\frac{-\sin x}{1+\cos x}-\frac{\sin x}{1-\cos x}\Bigr)\) \(=\frac12\cdot \frac{-\sin x(1-\cos x)-\sin x(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}\) \(=\frac12\cdot \frac{-2\sin x}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin x}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x^x\] Możemy równoważnie zapisać: \[f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x}\] Liczymy pochodną funkcji złożonej, gdzie zewnętrzną jest \(g(u)=e^u\), a wewnętrzną \(h(x)=x\ln x\). Dla \(h(x)\) stosujemy pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(e^{x\ln x})'\) \(=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1)\) \(=x^x(\ln x+1)\)