- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x}{1-\cos x}\] Stosujemy wzór na pochodną ilorazu, gdzie \(u(x)=x\), \(v(x)=1-\cos x\).
\(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) \(=\frac{1\cdot(1-\cos x)-x\cdot(0-(-\sin x))}{(1-\cos x)^2}\) \(=\frac{1-\cos x - x\sin x}{(1-\cos x)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos^2 x\] Stosujemy pochodną złożenia, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^2\), a wewnętrzną \(h(x)=\cos x\):
\(f'(x)=(\cos^2 x)'=2\cos x\cdot(-\sin x)\) \(=-2\sin x\cos x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=3\sin^2 x - \sin^3 x\] Wyrażenie \(3\sin^2 x\), to złożenie \(g(u)=3u^2\) z \(h(x)=\sin x\). Wyrażenie \(\sin^3 x\) złożenie \(g(u)=u^3\) z \(h(x)=\sin x\):
\(f'(x)=3\cdot2\sin x\cos x - 3\sin^2 x\cos x\) \(=6\sin x\cos x -3\sin^2 x\cos x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=3\sin(3x+5)\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=3\sin u\), a wewnętrzną \(h(x)=3x+5\):
\(f'(x)=3\cdot\cos(3x+5)\cdot(3x+5)'\) \(=3\cdot\cos(3x+5)\cdot3\) \(=9\cos(3x+5)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos^4 x\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=u^4\), a wewnętrzną \(h(x)=\cos x\):
\(f'(x)=4\cos^3 x\cdot(-\sin x)\) \(=-4\sin x\cos^3 x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sin\sqrt{1+x^2}\] Tu mamy funkcję podwójnie złożoną. Najpierw patrzymy na funkcję zewnętrzną: \(g(t)=\sin t\), która ma funkcję wewnętrzną \(h(x)=\sqrt{1+x^2}\).
Przy liczeniu pochodnej funkcji \(h(x)\) traktujemy ją jako funkcję złożoną, gdzie funkcja zewnętrzna to \(h_1(t)=\sqrt{t}\), wewnętrzna to \(h_2(x)=1+x^2\): \(f'(x)=\cos\sqrt{1+x^2}\cdot\left(\sqrt{1+x^2}\right)'\) \(=\cos\sqrt{1+x^2}\cdot\frac12(1+x^2)^{-\frac12}\cdot2x\) \(=\frac{x\cos\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\arcsin x\] Stosujemy wzór na pochodną iloczynu, gdzie \(u(x)=x\), \(v(x)=\arcsin x\). Funkcja \(v(x)\), to funkcja złożona, gdzie funkcja zewnętrzna to \(g(t)=\arcsin t\), a wewnętrzna to \(h(x)=x\):
\(f'(x)=1\cdot\arcsin x + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\] Pochodną wyrażenia \(x\arcsin x\) liczymy jak w przykładzie poprzednim, a druga część to złożenie: zewnętrzna \(g(u)=\sqrt{u}\), wewnętrzna \(h(x)=1-x^2\):
\(f'(x)=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac12(1-x^2)^{-\frac12}\cdot(-2x)\) \(=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) \(=\arcsin x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\sin(\arcsin x)\] Zauważmy, że \(sin\) to funkcja odwrotna do \(\arcsin x\). Zatem w dziedzinie \(x\in \langle-1, 1 \rangle \) mamy: \[f(x)=\sin(\arcsin x)=x\] Zatem:
\(f'(x)=(x)'= 1\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arcsin\frac{2}{x}\] Mamy złożenie: zewnętrzna \(g(u)=\arcsin u\), wewnętrzna \(h(x)=\frac{2}{x}\):
\(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x})^2}}\cdot\bigl(-\frac{2}{x^2}\bigr)\) \(=-\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\left(\arctan\frac{1}{x}\right)^2\] Mamy złożenie podwójne: najpierw zewnętrzna \(g_1(u)=u^2\), wewnętrzna \(h_1(x)=\arctan\frac{1}{x}\). Potem dla \(h_1\): zewnętrzna \(g_2(u)=\arctan u\), wewnętrzna \(h_2(x)=\frac{1}{x}\):
\(f'(x)=2\arctan\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2}\cdot\bigl(-\frac{1}{x^2}\bigr)\) \(=-\frac{2\arctan\frac{1}{x}}{x^2\bigl(1+\frac{1}{x^2}\bigr)}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\arctan\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją zewnętrzną jest \(g(u)=\arctan u\), a wewnętrzną \(h(x)=x-\sqrt{1+x^2}\). Dodatkowo dla składnika \(\sqrt{1+x^2}\) funkcja zewnętrzna to \(g_2(v)=\sqrt{v}\), a wewnętrzna to \(h_2(x)=1+x^2\):
\(f'(x)=\frac{1}{1-\bigl(x-\sqrt{1+x^2}\bigr)^2}\cdot\Bigl(1 - \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x\Bigr)\) \(=\frac{1 - \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1-\bigl(x-\sqrt{1+x^2}\bigr)^2}\)