- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\sin x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(x)'\sin x + x(\sin x)'\) \(=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x\) \(=\sin x + x\cos x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=(x^2+1)e^x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(x^2+1)'e^x + (x^2+1)(e^x)'\) \(=2x\,e^x + (x^2+1)e^x\) \(=(x^2+2x+1)e^x\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x^3\,3^x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu:
\(f'(x)=(x^3)'3^x + x^3(3^x)'\) \(=3x^2\,3^x + x^3\,3^x\ln3\) \(=3^x\bigl(3x^2 + x^3\ln3\bigr)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=x\,e^x\cos x\] Stosujemy regułę na pochodną iloczynu \(x\cdot g(x)\), gdzie \(g(x)=e^x\cos x\):
\(f'(x)=(x)'g + x\,g'\) \(=e^x\cos x + x\bigl((e^x)'\cos x + e^x(\cos x)'\bigr)\) \(=e^x\cos x + x\bigl(e^x\cos x - e^x\sin x\bigr)\) \(=e^x\cos x + x\,e^x(\cos x - \sin x)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{2x+1}{3x+2}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(2x+1)'(3x+2) - (2x+1)(3x+2)'}{(3x+2)^2}\) \(=\frac{2(3x+2) - (2x+1)\cdot3}{(3x+2)^2}\) \(=\frac{6x+4 -6x-3}{(3x+2)^2}\) \(=\frac{1}{(3x+2)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x-3}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(2x-2)(x^2+2x-3) - (x^2-2x+3)(2x+2)}{(x^2+2x-3)^2}\) \(=\frac{(2x^3+2x^2-10x+6)-(2x^3-2x^2+2x+6)}{(x^2+2x-3)^2}\) \(=\frac{4x^2-12x}{(x^2+2x-3)^2}\) \(=\frac{4x(x-3)}{(x^2+2x-3)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1+2\sqrt{x}}{2+\sqrt3\,x}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(1+2x^{\frac12})'(2+\sqrt3\,x) - (1+2x^{\frac12})(2+\sqrt3\,x)'}{(2+\sqrt3\,x)^2}\) \(=\frac{x^{-\frac12}(2+\sqrt3\,x) - (1+2x^{\frac12})\sqrt3}{(2+\sqrt3\,x)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x^2}{\sin x + \cos x}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(x^2)'(\sin x+\cos x) - x^2(\sin x+\cos x)'}{(\sin x+\cos x)^2}\) \(=\frac{2x(\sin x+\cos x) - x^2(\cos x - \sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{x\sin x}{1+\tan x}\] Stosujemy regułę na pochodną ilorazu:
\(f'(x)=\frac{(x\sin x)'(1+\tan x) - x\sin x\,(1+\tan x)'}{(1+\tan x)^2}\) \(=\frac{(\sin x + x\cos x)(1+\tan x) - x\sin x\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=(x^3-3x+4)^{2023}\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją wewnętrzną jest \(x^3-3x+4\):
\(f'(x)=2023\,(x^3-3x+4)^{2022}\cdot(3x^2-3)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos(x^3)\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją wewnętrzną jest \(x^3\):
\(f'(x)=-(\sin(x^3))\cdot(3x^2)\) \(=-3x^2\sin(x^3)\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\cos^3 x =(\cos x)^3\] Stosujemy pochodną funkcji złożonej, gdzie funkcją wewnętrzną jest \(\cos x\):
\(f'(x)=3(\cos x)^2\cdot(-\sin x)\) \(=-3\sin x\cos^2 x\)