- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 - x + 78\] Stosujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej \((x^n)' = n x^{n-1}\):
\(f'(x)=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+\frac{1}{2}\cdot 2x - 1\) \(=x^3-x^2+x-1\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}=x^{-1}-3x^{-3} \] Stosujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej:
\(f'(x)=-1\cdot x^{-2}-3\cdot(-3)x^{-4}\) \(=-x^{-2}+9x^{-4}\)
Upraszczamy: \(-\frac{1}{x^2}+\frac{9}{x^4}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=x^{\frac{2}{3}} \] Z pochodnej funkcji potęgowej mamy:
\(f'(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}\) \(=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=x^{-\frac{3}{4}} \] Z pochodnej funkcji potęgowej mamy:
\(f'(x)=-\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1}\) \(=-\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=x^2-2x+1-2x^{-\frac{1}{2}}-3x^{-4} \] Z pochodnej funkcji potęgowej mamy:
\(f'(x)=2x-2-2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-\frac{3}{2}}-3\cdot(-4)x^{-5}\) \(=2x-2+x^{-\frac{3}{2}}+12x^{-5}\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=e^x+4^x \] Stosujemy wzór na pochodne funkcji wykładniczych:
\(f'(x)=e^x+4^x\ln4\)
- Chcemy obliczyć pochodną funkcji: \[ f(x)=3\log_2 x+4 \] Pochodna logarytmu:
\(f'(x)=3\cdot\frac{1}{x\ln2}+0\) \(=\frac{3}{x\ln2}\)