Niech długość krawędzi podstawy wynosi \(a\), a wysokość \(H\).

Pole podstawy sześciokąta foremnego składa się z \(6\) trójkątów równobocznych: Zatem: \[ P_p = 6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \] Wysokość tego trójkąta równobocznego to: \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Zróbmy rysunek całego graniastosłupa:

Pole boczne graniastosłupa wynosi: \[ P_b = 6aH, \]

Zatem pole powierzchni całkowitej jest dane wzorem: \[ P_c = 2P_p + P_b = 3\sqrt{3}a^2 + 6aH. \]

Krótsza przekątna graniastosłupa, to odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy z odpowiednim wierzchołkiem górnej podstawy, którego rzut na płaszczyznę podstawy odpowiada krótszej przekątnej sześciokąta. Krótsza przekątna sześciokąta ma długość: \[2h = 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\]

Kąt \(\alpha\) między tą przekątną a podstawą spełnia: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{2h} = \frac{H}{a\sqrt{3}} \] A z treści zadania wiemy, że: \(\operatorname{tg} \alpha =3\). Zatem: \[ \frac{H}{a\sqrt{3}}=3\\[6pt] H = 3a\sqrt{3} \]

Podstawiamy wyznaczone \(H\) do wzoru na pole powierzchni całkowitej: \[ P_c = 3\sqrt{3}a^2 + 6a(3a\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}a^2 + 18\sqrt{3}a^2 = 21\sqrt{3}a^2 \]

Wiemy ponadto, że \(P_c=63\sqrt{3}\).

Zatem: \[21\sqrt{3}a^2 = 63\sqrt{3}\]

Dzieląc obie strony równania przez \(21\sqrt{3}\), otrzymujemy: \[ a^2 = 3\\[6pt] a = \sqrt{3} \]

Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy wynosi \(\sqrt{3}\).