Dana jest funkcja \(f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x\), gdzie \(x \in R_{+}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Funkcja \(f\) jest rosnąca. | P | F |
| Zachodzi nierówność: \(f(1) \lt f(\sqrt{2})\). | P | F |
Funkcja logarytmiczna \(y=\log_ax\) jest rosnąca, jeśli \(a\gt 1\), a malejąca, jeśli \(0 \lt a \lt 1\).
Zatem funkcja \(f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x\) jest malejąca (bo ma podstawę równą \(\frac{1}{2}\), czyli mniejszą od \(1\)), stąd pierwsze zdanie jest fałszywe.
Przypomnijmy wykres tej funkcji:
Ponieważ funkcja jest malejąca, zatem: \(f(1) \gt f(\sqrt{2})\). Zatem drugie zdanie jest fałszywe.
Można było też obliczyć wartości funkcji: \[f(1)=\log _{\frac{1}{2}} 1 = 0\] oraz: \[f(\sqrt{2})=\log _{\frac{1}{2}} \sqrt{2} = c\\[6pt] \left(\frac{1}{2}\right)^c=\sqrt{2}\\[6pt] \left(2\right)^{-c}=2^{\frac{1}{2}}\\[6pt] -c=\frac{1}{2}\\[6pt] c=-\frac{1}{2} \] Zatem: \[f(\sqrt{2})=-\frac{1}{2}\]
Czyli \(f(1) \gt f(\sqrt{2})\), bo \(0\gt -\frac{1}{2}\).
Czyli oba zdania są fałszywe: FF.