Zauważmy, że: \[9 + 9^2 + 9^3 = 9 + 81 + 729 = 819 = 13\cdot 63\] Niech \[S = 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{99}\] Grupujemy wyrazy po trzy: \[ S = (9 + 9^2 + 9^3) + (9^4 + 9^5 + 9^6) + \ldots + (9^{97} + 9^{98} + 9^{99}) \] Zauważamy, że jest \(33\) takie grupy (bo \(99 / 3 = 33\)).
Wyciągamy \(9^3\) przed nawias w każdej grupie (zaczynając od drugiej grupy): \[ S = (9 + 9^2 + 9^3) + 9^3(9 + 9^2 + 9^3) + \ldots + 9^{96}(9 + 9^2 + 9^3) \] Teraz wyciągamy \((9 + 9^2 + 9^3)\) przed nawias: \[ S = (9 + 9^2 + 9^3)(1 + 9^3 + 9^6 + \ldots + 9^{96}) \] Zatem: \[ S = 819(1 + 9^3 + 9^6 + \ldots + 9^{96}) = 13 \cdot 63(1 + 9^3 + 9^6 + \ldots + 9^{96}) \]