Niech \[S = 999 + 999^2 + 999^3 + 999^4 + 999^5 + 999^6 + 999^7 + 999^8\] Możemy zapisać \(999\) jako \(1000 - 1\). Wtedy: \[ S = (1000 - 1) + (1000 - 1)^2 + (1000 - 1)^3 + (1000 - 1)^4 + (1000 - 1)^5 + (1000 - 1)^6 + (1000 - 1)^7 + (1000 - 1)^8 \] Korzystając z rozwinięcia dwumianowego: \[(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k\] możemy zapisać każdy składnik w postaci \(1000k + (-1)^n\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą, a \(n\) to potęga, do której podnosimy \((1000 - 1)\). Zauważmy, że dla parzystych potęg mamy \(+1\), a dla nieparzystych \(-1\).

• \(1000 - 1 = 1000 - 1\)
• \((1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2 \cdot 1000 + 1 = 1000k_2 + 1\)
• \((1000 - 1)^3 = 1000^3 - 3 \cdot 1000^2 + 3 \cdot 1000 - 1 = 1000k_3 - 1\)
• \((1000 - 1)^4 = 1000k_4 + 1\)
• \((1000 - 1)^5 = 1000k_5 - 1\)
• \((1000 - 1)^6 = 1000k_6 + 1\)
• \((1000 - 1)^7 = 1000k_7 - 1\)
• \((1000 - 1)^8 = 1000k_8 + 1\)

Zatem suma \(S\) ma postać: \[ S = (1000 - 1) + (1000k_2 + 1) + (1000k_3 - 1) + (1000k_4 + 1) + (1000k_5 - 1) + (1000k_6 + 1) + (1000k_7 - 1) + (1000k_8 + 1) \] Czyli: \[ S = 1000 - 1 + 1000k_2 + 1 + 1000k_3 - 1 + 1000k_4 + 1 + 1000k_5 - 1 + 1000k_6 + 1 + 1000k_7 - 1 + 1000k_8 + 1 \] \[ S = 1000 + 1000k_2 + 1000k_3 + 1000k_4 + 1000k_5 + 1000k_6 + 1000k_7 + 1000k_8 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \] \[ S = 1000(1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5 + k_6 + k_7 + k_8) \] Zatem \(S\) jest podzielne przez \(1000\).