Zauważmy, że: \[10712=103\cdot 104\] Niech: \[S = 103 + 103^2 + 103^3 + \ldots + 103^{18}\] Wyciągamy \(103\) przed nawias: \[ S = 103(1 + 103 + 103^2 + \ldots + 103^{17}) \] Teraz musimy pokazać, że wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez \(104\). Oznaczmy: \[ T = 1 + 103 + 103^2 + \ldots + 103^{17} \] Chcemy pokazać, że \(T = 104 \cdot k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Zauważmy, że \(103 = 104 - 1\). Zatem: \[ T = 1 + (104 - 1) + (104 - 1)^2 + \ldots + (104 - 1)^{17} \] Korzystając z rozwinięcia dwumianowego Newtona: \[(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k\] możemy zapisać każdy składnik w postaci: \(104 \cdot k_i + (-1)^i\), gdzie \(k_i\) jest pewną liczbą całkowitą.

• \(104 - 1 = 104 \cdot 1 - 1\)
• \((104 - 1)^2 = 104^2 - 2 \cdot 104 + 1 = 104(104 - 2) + 1\)
• \((104 - 1)^3 = 104^3 - 3 \cdot 104^2 + 3 \cdot 104 - 1 = 104(104^2 - 3 \cdot 104 + 3) - 1\)
• \(\ldots\)
• \((104 - 1)^{17} = 104 \cdot k_{17} - 1\)

Zatem: \[ T = 1 + (104 - 1) + (104k_2 + 1) + (104k_3 - 1) + \ldots + (104k_{17} - 1) \] Możemy to zapisać jako: \[ T = 1 + 104 - 1 + 104k_2 + 1 + 104k_3 - 1 + 104k_4 + 1 + \ldots + 104k_{17} - 1 \] Wyrazy z \(104\) wyciągamy przed nawias: \[ T = 104(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) + (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots - 1) \] Zauważmy, że mamy \(18\) wyrazów, więc suma \((1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots - 1)\) wynosi 0. Zatem: \[ T = 104(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) \] Co oznacza, że \(T\) jest podzielne przez 104. Wracając do naszego wyrażenia \(S\): \[ S = 103 \cdot T = 103 \cdot 104(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) = 10712(1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_{17}) \] Zatem \(103 + 103^2 + 103^3 + \ldots + 103^{18}\) jest podzielne przez 10712.