Udowodnij tożsamość: \(\frac{\operatorname{tg} x\left(1+\operatorname{ctg}^{2} x\right)}{1+\operatorname{tg}^{2} x}=\frac{1-\sin ^{2} x}{\sin x \cos x}\).
Zakładamy, że wyrażenie jest określone, czyli, że: \(\sin x \ne 0\) oraz \(\cos x \ne 0\). Tak jest dla \(x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{k \pi}{2}: k \in \mathbf{Z}\right\}\).
Przekształcamy lewą stronę: \[L=\frac{\operatorname{tg} x\left(1+\operatorname{ctg}^2 x\right)}{1+\operatorname{tg}^2 x}\] Stosujemy wzory na tangens i cotangens: \[ \begin{split} &L=\frac{\operatorname{tg} x\left(1+\operatorname{ctg}^2 x\right)}{1+\operatorname{tg}^2 x}=\\[16pt] &=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}\left(1+\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2\right)}{1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2}=\\[16pt] &=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}\left(\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}\right)}{\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}}=\\[16pt] &=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}\left(\frac{1}{\sin^2 x}\right)}{\frac{1}{\cos^2 x}}=\\[16pt] &=\frac{\sin x}{\cos x\sin^2 x} \cdot \cos^2 x=\\[16pt] &=\frac{\cos x}{\sin x} \end{split}\] Przekształcamy prawą stronę: \[P=\frac{1-\sin^2 x}{\sin x \cos x}\] Stosujemy tożsamość \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \begin{split} &P=\frac{1-\sin^2 x}{\sin x \cos x}=\\[16pt] &=\frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x}=\\[16pt] &=\frac{\cos x}{\sin x} \end{split}\] Zatem zachodzi równość \(L = P\).