Udowodnij tożsamość: \(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{2}{\cos x}\).
Zakładamy, że wyrażenie jest określone, czyli, że: \(\cos x \ne 0\) oraz \(1-\sin x \ne 0\) oraz \(1+\sin x \ne 0\). Tak jest dla \(x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi: k \in \mathbf{Z}\right\}\).
Przekształcamy lewą stronę: \[ L = \frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x} \] Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[ (1-\sin x)(1+\sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \] Rozpisujemy ułamki: \[ \begin{split} &L = \frac{\cos x (1+\sin x) + \cos x (1-\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}=\\[6pt] &=\frac{\cos x + \cos x \sin x + \cos x - \cos x \sin x}{\cos^2 x}=\\[6pt] &=\frac{2\cos x}{\cos^2 x}=\frac{2}{\cos x}=P \end{split} \] Zatem zachodzi równość \(L = P\).