Udowodnij tożsamość: \(\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{ctg} x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x}=\frac{\operatorname{tg}^{2} x-1}{\operatorname{tg}^{2} x+1}\).
Zakładamy, że wyrażenie jest określone, czyli, że: \(\sin x \ne 0\) oraz \(\cos x \ne 0\) (to są mianowniki tangensa i cotangensa). Tak jest dla \(x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{k \pi}{2}: k \in \mathbf{Z}\right\}\).
Przekształcamy lewą stronę: \[L=\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}\] Stosujemy wzory na tangens i cotangens: \[ \begin{split} L &= \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}= \\[16pt] &= \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\cos x \sin x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \sin x}}= \\[16pt] &= \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x}= \\[16pt] &= \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{1}= \\[12pt] &=\sin^2 x - \cos^2 x \end{split} \] Przekształcamy prawą stronę: \[P=\frac{\operatorname{tg}^{2} x - 1}{\operatorname{tg}^{2} x + 1}\] Używając wzoru \(\operatorname{tg}^{2} x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\): \[ \begin{split} P &= \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 1}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1}= \\[16pt] &= \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}} =\\[16pt] &= \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x}= \\[16pt] &= \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{1}= \\[12pt] &=\sin^2 x - \cos^2 x \end{split} \] Zatem zachodzi równość \(L = P\).