Udowodnij tożsamość: \(\frac{\operatorname{ctg} x\cdot (1+\operatorname{tg} ^2x)}{1+\operatorname{ctg} ^2x}=\operatorname{tg} x\).
Zakładamy, że wyrażenie jest określone, czyli, że: \(\sin x \ne 0\) oraz \(\cos x \ne 0\) (mianowniki tangensa i cotangensa muszą być różne od zera). Tak jest dla \(x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{k \pi}{2}: k \in \mathbf{Z}\right\}\).
Przekształcamy lewą stronę: \[L=\frac{\operatorname{ctg} x \cdot (1+\operatorname{tg}^2 x)}{1+\operatorname{ctg}^2 x}\] Stosujemy wzory na tangens i cotangens: \[ \begin{split} L &= \frac{\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \left(1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2\right)}{1+\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2} \\[16pt] &= \frac{\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \left(\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\right)}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}} \\[16pt] &= \frac{\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\sin^2 x}} \\[16pt] &= \frac{\cos x}{\sin x \cos^2 x} \cdot \sin^2 x \\[16pt] &= \frac{\sin x}{\cos x} \end{split} \] Przekształcamy prawą stronę: \[P=\operatorname{tg} x\] Stosujemy wzór na tangens: \[ \begin{split} P &= \frac{\sin x}{\cos x} \end{split} \] Zatem zachodzi równość \(L = P\).