Udowodnij tożsamość: \(\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x}=\sin ^{2} x\).
Zakładamy, że wyrażenie jest określone, czyli, że: \(\sin x \ne 0\) oraz \(\cos x \ne 0\) oraz \(\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x \ne 0\). Tak jest dla \(x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{k\pi}{2}: k \in \mathbf{Z}\right\}\).
Przekształcamy lewą stronę: \[ L = \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x} \] Stosujemy wzory na tangens i cotangens: \[ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Podstawiamy do wyrażenia: \[ \begin{split} &L = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}=\\[6pt] &=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \sin x}}=\\[6pt] &=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x \sin x}}=\\[6pt] &=\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x \sin x}{1}=\\[6pt] &=\sin^2 x=P \end{split} \] Zatem zachodzi równość \(L = P\).