Udowodnij tożsamość: \(\frac{\operatorname{tg} x+\cos x}{\cos x \sin x}=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos ^{2} x}\).
Zakładamy, że wyrażenie jest określone, czyli, że: \(\sin x \ne 0\) oraz \(\cos x \ne 0\). Tak jest dla \(x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{k\pi}{2}: k \in \mathbf{Z}\right\}\).
Przekształcamy lewą stronę: \[ L=\frac{\operatorname{tg} x+\cos x}{\cos x \sin x} \] Stosujemy wzór na tangens \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[ \begin{split} &L=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x}{\cos x \sin x}=\\[6pt] &=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x \sin x}+\frac{\cos x}{\cos x \sin x}=\\[6pt] &=\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin x}=P \end{split} \] Zatem zachodzi równość \(L = P\).