Przekształcamy tezę: \(x+y\le 2\) do kolejnych nierówności równoważnych.
Na początku podnosimy nierówność stronami do kwadratu (mamy pewność, że obie strony nierówności są dodatnie, bo \(x\) i \(y\) są dodatnie): \[\begin{split} x+y & \le 2\qquad /^2 \\[6pt] (x+y)^2 & \leq 4 \\[6pt] x^2+2 x y+y^2 & \le 2 \cdot 2 \\[6pt] \end{split}\] Teraz korzystamy z założenia, że: \(2=x^2+y^2\): \[\begin{split} x^2+2 x y+y^2 & \le 2 \cdot\left(x^2+y^2\right) \\[6pt] x^2+2 x y+y^2 & \le 2 x^2+2 y^2 \\[6pt] -x^2+2 x y-y^2 & \le 0 \\[6pt] x^2-2 x y+y^2 & \ge 0 \\[6pt] (x-y)^2 & \ge 0\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność równoważną, która jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich \(x\) i \(y\), co dowodzi tezy.