Zbiór zadań - zadania dowodowe algebraiczne
Poziom podstawowy
Zadanie 1. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \((2 n+5)^{2}+3\) jest podzielna przez \(4\).
Zadanie 2. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Zadanie 3. (3 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).
Zadanie 4. (2 pkt)
Wykaż, że suma sześciu kolejnych liczb naturalnych jest nieparzysta.
Zadanie 5. (2 pkt)
Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez \(6\).
Zadanie 6. (2 pkt)
Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb niepodzielnych przez \(5\) jest podzielna przez \(5\).
Zadanie 7. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).
Zadanie 8. (2 pkt)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Zadanie 9. (2 pkt)
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Zadanie 10. (2 pkt)
Wykaż, że jeżeli liczba przy dzieleniu przez \(11\) daje resztę \(5\), to kwadrat tej liczby przy dzieleniu przez 11 daje resztę \(3\).
Zadanie 11. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).
Zadanie 12. (3 pkt)
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba \(a^2+11 a b+b^2\) jest podzielna przez \(9\).
Zadanie 13. (2 pkt)
Wykaż, że dla \(a, b \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\) zachodzi nierówność: \[ \frac{1}{a^2}-\frac{2}{a b}+\frac{1}{b^2} \geq 0 \]
Zadanie 14. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).
Zadanie 15. (2 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a + b) + b^2 \gt 3ab\]
Zadanie 16. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2\gt0\]
Zadanie 17. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \[\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]
Zadanie 18. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a, b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \[\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+c}\]