Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie nierówności można zapisać jako kwadrat różnicy: \[ \left(\frac{1}{a}\right)^2-2\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}+\left(\frac{1}{b}\right)^2=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2 \] Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to: \[ \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2 \geq 0 \] Zatem nierówność \(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a b}+\frac{1}{b^2} \geq 0\) jest spełniona dla wszystkich \(a, b \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\), co kończy dowód.