1. Wprowadzenie do funkcji kwadratowej

Przed rozpoczęciem nauki o funkcji kwadratowej, warto dobrze zrozumieć samo pojęcie funkcji, a także pojęcia z nim związane, takie jak np. miejsca zerowe.
Przydatna będzie również umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych.
Dokładne omówienie funkcji kwadratowej znajdziesz w rozdziałach poniższych.
W tym rozdziale pokażemy sobie jedynie kilka podstawowych cech funkcji kwadratowej.
Funkcją kwadratową nazywamy taką funkcję, we wzorze której:
  • musi wystąpić x2,
  • może wystąpić x,
  • może wystąpić liczba stała.
Oto przykładowe funkcje kwadratowe: We wzorze każdej z powyższych funkcji występuje wyrażenie x2, zatem są to funkcje kwadratowe.
Czasami wzór funkcji może być zapisany w taki sposób, że wyrażenie x2 nie będzie widoczne na pierwszy rzut oka. Oto przykłady tak zapisanych funkcji kwadratowych: Po wymnożeniu nawiasów we wzorze pierwszej funkcji (oraz odpowiednio podniesieniu nawiasu do kwadratu we wzorze drugiej funkcji) otrzymamy już klasyczny wzór funkcji kwadratowej: Poniżej znajduje się lekcja wideo w której znajdziesz wszystkie najważniejsze informacje o funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa - wszystko co warto wiedzieć

W tej lekcji wideo znajdziesz bardzo dokładne omówienie pojęcia funkcji kwadratowej.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Poniżej znajduje się drugi (dawniej nagrany) film wideo, w którym zostały omówione podstawowe własności funkcji kwadratowej.

Film wprowadzający do funkcji kwadratowej

W tym nagraniu wideo znajdziesz podstawowe informacje o funkcji kwadratowej - definicję oraz przykłady wprowadzające. Zobaczysz jak obliczać wartości funkcji kwadratowej, a także jak wyglądają jej przykładowe wykresy.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Wykres funkcji kwadratowej

Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci: f(x) = ax^2 + bx + c gdzie literki a, b oraz c są współczynnikami liczbowymi.
Wykres każdej funkcji kwadratowej jest nazywany parabolą.
Oto przykładowe wykresy: wykres funkcji f(x) = x^2 Obie funkcje, których wykresy widać na powyższym rysunku mają współczynniki b = 0 oraz c = 0.
Ramiona pierwszej paraboli skierowane są do góry, ponieważ jej współczynnik a jest dodatni (a = 1).
W sytuacji gdy a < 0, to ramiona paraboli skierowane są w dół (tak jak na drugim wykresie, gdzie a = -1).
Obie parabole na powyższym rysunku mają wierzchołek w punkcie (0, 0).
Pojęcie wierzchołka oraz ramion paraboli wyjaśnia poniższy rysunek: wykres funkcji f(x) = x^2-2x-8
Teraz omówimy własności przykładowej funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 2x - 8 (wykres funkcji powyżej).
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = ⟨-9; +∞).
  • Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: x1 = -2 oraz x2 = 4.
  • Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x∈(-∞; -2) ∪ (4 +∞).
  • Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x∈(-2; 4).
  • Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: (0, -8).
  • Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
  • Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
  • Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
  • Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.

Aby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej (z którego będzie można potem odczytać wszystkie jej własności) należy wcześniej ustalić:
  • W którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
    Jeżeli a > 0 to do góry, a jeżeli a < 0 to do dołu.
  • Miejsca zerowe funkcji.
    W tym celu należy rozwiązać równanie: wzór funkcji = 0 Jest to równanie kwadratowe, które rozwiązujemy metodami opisanymi tutaj.
  • Wierzchołek paraboli.
    Współrzędne wierzchołka paraboli W = (xw; yw) można obliczyć ze wzorów: wzory na współrzędne wierzchołka parabloi
  • Punkt przecięcia z osią y-ów.
    Punkt ten ma współrzędne: (0; f(0))

Jeżeli chcesz sprawdzić jak powinien wyglądać wykres dowolnej funkcji, to możesz skorzystać z programu do rysowania wykresów.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.

Zadanie 1.

Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa

Zadanie 2.

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest ⟨−2, +∞).

Zadanie 3.

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y = x2 + 2x - 3. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 4.

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x) = x2 - 4x + 4 jest punkt o współrzędnych

Zadanie 5.

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej y = -(-x - 7)(1 + x) jest

Zadanie 6.

Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -3x2 + 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie

Zadanie 7.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y = -3(x - 7)(x + 2) są

Zadanie 8.

Liczby x1, x2 są rozwiązaniami równania 4(x + 2)(x - 6) = 0. Suma x12 + x22 jest równa

Zadanie 9.

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (-∞, 3⟩.

Zadanie 10.

Wykres funkcji kwadratowej f(x) = 3(x + 1)2 - 4 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

Zadanie 11.

Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -x2 + 6x - 10. Wynika stąd, że

Zadanie 12.

Jak jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 4x - 3 w przedziale ⟨0, 3⟩?

Zadanie 13.

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział [-2, ∞).

Zadanie 14.

Wskaż zbiór wartości funkcji f(x)=(x-3)2 + 2

Zadanie 15.

Wskaż zbiór wartości funkcji f(x)= -(x+3)2 - 5

Zadanie 16.

Oblicz największą wartość funkcji f(x) = -2x2 + 16x - 15 w przedziale [-2, 3].

Zadanie 17.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 6x + 1 w przedziale ⟨0, 1⟩.

Zadanie 18.

Funkcja kwadratowa f(x) = -2(x -5)(x +1) jest malejąca w zbiorze

Zadanie 19.

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = -3(x - 2)2 + 4 jest punkt o współrzędnych

Zadanie 20.

Wierzchołek paraboli o równaniu y = (x + 1)2 + 2c leży na prostej o równaniu y = 6. Wtedy

3.1. Wstęp do postaci funkcji kwadratowej

Wzór dowolnej funkcji kwadratowej można zapisać na wiele różnych sposobów. Oto przykładowa funkcja kwadratowa zapisana na kilka różnych sposobów:

Każdy z powyższych wzorów opisuje tą samą funkcję kwadratową. Tego typu wzorów dla jednej funkcji można teoretycznie wymyślać nieskończenie wiele. Nie opłaca się jednak tego robić, ponieważ kolejne wzory byłyby coraz bardziej skomplikowane. Warto zawsze przedstawiać funkcję w najprostszej możliwej postaci.
Wzór funkcji kwadratowej najkorzystniej jest zapisywać w jednej z trzech postaci: ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej.

Postacie funkcji kwadratowej

W tym nagraniu wideo omawiam postać ogólną, kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

3.2. Postać ogólna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej wygląda tak: gdzie a, b, c są współczynnikami liczbowymi i a ≠ 0.
Ze wzoru funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej możemy od razu odczytać:
  • czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0),
  • punkt przecięcia paraboli z osią OY (0, c).
Na przykład: Na powyższych wykresach zaznaczono również miejsca zerowe obu funkcji kwadratowych (oznaczone symbolami x1 oraz x2). Dysponując wzorem ogólnym funkcji kwadratowej możemy łatwo obliczyć miejsca zerowe x1 i x2. Wystarczy najpierw obliczyć deltę, korzystając ze wzoru: Jeżeli delta wyszła większa od zera, to miejsca zerowe istnieją i możemy je obliczyć korzystając ze wzorów: Chcąc policzyć współrzędne wierzchołka W funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej, skorzystamy ze wzorów:

3.3. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej wygląda tak: gdzie a, p, q są współczynnikami liczbowymi i a ≠ 0.
Współczynniki p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Oznaczmy ten wierzchołek przez W = (p, q). Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej, to możemy obliczyć współrzędne p i q ze wzorów: Zaletą postaci kanonicznej jest to, że widać z niej od razu współrzędne wierzchołka paraboli.
Dodatkowo po współczynniku a możemy określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0).

3.4. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej wygląda tak: W powyższym wzorze a jest współczynnikiem liczbowym, takim, że a ≠ 0. Literki x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji f(x).
Uwaga! Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje.
Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej (i Δ > 0), to możemy obliczyć miejsca zerowe x1 i x2 korzystając ze wzorów: Zaletą postaci iloczynowej jest to, że widać z niej od razu miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Po współczynniku a możemy określić również, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0).

3.5. Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną i iloczynową

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci ogólnej, czyli: Aby zamienić wzór funkcji na postać kanoniczną, to wystarczy obliczyć p i q. Korzystamy ze wzorów: Po wyliczeniu p i q zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej korzystając ze wzoru: Aby zamienić wzór funkcji na postać iloczynową, to należy obliczyć x1 i x2. Wcześniej jednak liczymy deltę ze wzoru: Jeżeli Δ ≥ 0 to obliczamy x1 i x2 ze wzorów: Korzystamy ze wzorów: Po wyliczeniu x1 i x2 zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej korzystając ze wzoru: Uwaga! Jeżeli Δ = 0, to wystarczy policzyć x1 ze wzoru: Postać iloczynową możemy wówczas zapisać krócej: Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = x2 + 5x - 6 na postać kanoniczną i iloczynową.
Rozwiązanie
Zacznijmy od wypisania współczynników liczbowych a, b i c z danej postaci ogólnej:
a = 1
b = 5
c = -6
Teraz obliczymy deltę:
Δ = b2 - 4ac = 52 - 4⋅1⋅(-6) = 25 + 24 = 49
Jako pierwszą wyznaczymy postać kanoniczną. Do tego celu musimy obliczyć p i q:

Teraz podstawiamy wyliczone wartości liczbowe współczynników do wzoru:

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

Teraz wyznaczymy postać iloczynową. W tym celu musimy wyliczyć miejsca zerowe x1 i x2. Korzystamy z poznanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru:

Zatem ostatecznie postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest następująca:

3.6. Zamiana postaci kanonicznej na postać ogólną i iloczynową

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci kanonicznej, czyli: Aby zamienić wzór funkcji na postać ogólną, to wystarczy podnieść nawias do kwadratu i uprościć wyrażenie: Możemy zatem zapisać wzory na współczynniki liczbowe b i c: Teraz gdy znamy współczynniki liczbowe a, b i c, to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej: W praktyce przekształcanie wzoru funkcji kwadratowej na postać ogólną jest bardzo proste i nie wymaga pamiętania żadnych wzorów. Przekonasz się o tym na poniższych przykładach. Wcześniej jednak omówimy metodę zamieniania postaci kanonicznej na iloczynową.
Aby zamienić wzór funkcji z postaci kanonicznej na postać iloczynową, to wystarczy obliczyć miejsca zerowe x1 i x2. Żeby to zrobić, to warto najpierw zamienić wzór funkcji na postać ogólną, a następnie obliczyć miejsca zerowe korzystając z delty i wzorów na x1 oraz x2.
Alternatywną metodą jest obliczenie miejsc zerowych wprost z postaci kanonicznej w następujący sposób: Oczywiście powyższy rachunek możemy przeprowadzić pod warunkiem, że liczba jest dodatnia (bo nie wolno wyciągać pierwiastka z liczby ujemnej). W przeciwnym przypadku miejsca zerowe po prostu nie istnieją.
Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = (x + 1)2 - 4 na postać ogólną i iloczynową.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu podnosimy nawias do kwadratu i upraszczamy wyrażenie:
f(x) = (x + 1)2 - 4 = x2 + 2x + 1 - 4 = x2 + 2x - 3
Czyli postać ogólna jest następująca:
f(x) = x2 + 2x - 3
Teraz wyznaczymy postać iloczynową. Musimy w tym celu wyliczyć miejsca zerowe x1 i x2.
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe a, b i c wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej:
a = 1
b = 2
c = -3
Obliczymy deltę:
Δ = b2 - 4ac = 22 - 4⋅1⋅(-3) = 4 + 12 = 16
Teraz obliczamy miejsca zerowe x1 i x2 korzystając z poznanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać iloczynową:

Zatem ostatecznie postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest następująca:

3.7. Zamiana postaci iloczynowej na postać ogólną i kanoniczną

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, czyli: Aby zamienić wzór funkcji na postać ogólną, to wystarczy wymnożyć nawiasy: Z powyższego rachunku wynikają wzory na współczynniki liczbowe b i c: Gdy znamy już współczynniki liczbowe a, b i c, to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej: Za chwilę przećwiczymy taką zamianę na konkretnym przykładzie. Wcześniej jednak omówimy metodę zamieniania postaci iloczynowej na kanoniczną.
Aby zamienić wzór funkcji z postaci iloczynowej na postać kanoniczną, to wcześniej warto przekształcić wzór na postać ogólną. Z niej można bez problemu wyliczyć współczynniki p i q korzystając ze wzorów: Po wyliczeniu p i q zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:
Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = 2(x + 3)(x - 4) na postać ogólną i kanoniczną.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu wymnażamy nawiasy:
f(x) = 2(x + 3)(x - 4) = (2x + 6)(x - 4) = 2x2 - 8x + 6x - 24 = 2x2 - 2x - 24
Czyli postać ogólna jest następująca:
f(x) = 2x2 - 2x - 24
Teraz wyznaczymy postać kanoniczną. Musimy w tym celu wyliczyć współczynniki p i q.
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe a, b i c wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej:
a = 2
b = -2
c = -24
Obliczymy jeszcze deltę:
Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4⋅2⋅(-24) = 4 + 192 = 196
Teraz obliczamy współczynniki p i q ze znanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną:

Zatem ostatecznie postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest następująca:

4. Oś symetrii paraboli

Oś symetrii paraboli zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli, a jej równanie jest następujące: x = -b/2a

Zadanie 1.

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = -x2 + 4x - 11.

5. Różne zadania z funkcji kwadratowej

Zadanie 1.

Funkcja kwadratowa y = x2 + bx + c jest malejąca dla x ∈ (-∞; 2⟩, a zbiorem jej wartości jest przedział ⟨-4; ∞). Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem

Zadanie 2.

Dwie funkcje f(x) = 2x - 1 oraz g(x) = -x2 określone są w zbiorze R. Wówczas wykres funkcji h określonej wzorem h(x) = f(x) + g(x) jest przedstawiony na rysunku:

Zadanie 3.

Liczby x1, x2 są różnymi rozwiązaniami równania x2 - 7 = 0. Wtedy wyrażenie |x1 - x2| jest równe

Zadanie 4.

Liczba x = 2 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = mx2 - m - 9 dla

Zadanie 5.

Dla jakiego parametru m liczba x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = 2x2 + mx?

Zadanie 6.

Dane są funkcje liniowe f(x) = x - 2 oraz g(x) = x + 4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x) = f(x)⋅g(x)

Zadanie 7.

Wykres funkcji f(x) = x2 - 2x - 8, gdzie x ∈ R, przecina oś OX w punktach A i B.
  • Wyznacz współrzędne punktów A i B.
  • Oblicz pole trójkąta AWB, jeśli W jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f.

Zadanie 8.

Wykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.

Zadanie 9.

Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania x2 - 9 = 0. Oblicz wartość liczbową wyrażenia .

Zadanie 10.

Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania (x + 1)(2 - x) = 0. Oblicz .

Zadanie 11.

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Zadanie 12.

Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

Zadanie 13.

Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Zadanie 14.

Adam rozwiązywał codziennie taką sama liczbę zadań i w sumie rozwiązał 60 zadań. Jeśli rozwiązywałby codziennie o 6 zadań więcej, to rozwiązałby te zadania o 5 dni krócej. Oblicz, przez ile dni Adam rozwiązywał zadania przed maturą i ile zadań rozwiązywał każdego dnia.

Zadanie 15.

W czasie wakacji Marcin przejechał rowerem ze stałą prędkością odległość z miasteczka A do B liczącą 120 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 5 km/godz. większą, to przejechałby tę odległość w czasie o 2 godziny krótszym. Wyznacz średnią rzeczywistą prędkość Marcina i rzeczywisty czas przejazdu.

Zadanie 16.

Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.

Zadanie 17.

Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Zadanie 18.

Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

Zadanie 19.

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m dłuższy i o 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary ma pierwszy basen.

Zadanie 20.

Prostokątna działka ma powierzchnię 300 m2. Wiadomo, że jeden bok jest o 5 m dłuższy od drugiego. Ile kosztowało ogrodzenie tej działki, jeżeli za 1 m siatki właściciel zapłacił 30 zł?

Zadanie 21.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + 2(1 - m)x + m2 - m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek x1x2 ≤ 6mx12 + x22.