Drukuj
  • \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+4}{x+2}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^3-125}{2 x^2-50}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-4 x+3}{2 x-6}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow -2} \frac{3 x^2+5 x-2}{4 x^2+9 x+2}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x}{2 \sin 3 x}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{2 x}{x^2-4}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{2 x}{x^2-4}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-4}{x+1}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-1}{x-1}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow -2} \frac{x^3+8}{x^2-4}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-3 x+2}{x-2}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^2-2 x-8}{x^2-9 x+20}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2-3 x+5}{3 x^2-4 x-1}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin 3 x}{4 x}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2}{x^2-1}\)
  • \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2}{x^2-1}\)
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2+4}{x+2} \] Po podstawieniu \(x=2\) otrzymujemy \(\frac{2^2+4}{2+2}=\frac{8}{4}=2\), więc \[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2+4}{x+2}=2. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} \] Po podstawieniu \(2\) pod \(x\) otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac{0}{0}\right]\).
    Zamieniamy zatem licznik na postać iloczynową i skracamy: \[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x+2=2+2=4\]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to5}\frac{x^3-125}{2x^2-50} \] Po podstawieniu \(x=5\) mamy \(\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkładamy na czynniki: \[ x^3-125=(x-5)(x^2+5x+25),\\[6pt] 2x^2-50=2(x^2-25)=2(x-5)(x+5). \] Skracamy: \[ \lim_{x\to5}\frac{(x-5)(x^2+5x+25)}{2(x-5)(x+5)} =\lim_{x\to5}\frac{x^2+5x+25}{2(x+5)} =\frac{5^2+25+25}{2\cdot10} =\frac{75}{20} =\frac{15}{4}. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to3}\frac{x^2-4x+3}{2x-6} \] Podstawienie \(x=3\) daje \(\left[\tfrac{9-12+3}{6-6}\right]=\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkładamy: \[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\\[6pt] 2x-6=2(x-3). \] Skracamy: \[ \lim_{x\to3}\frac{(x-1)(x-3)}{2(x-3)} =\lim_{x\to3}\frac{x-1}{2} =\frac{3-1}{2} =1. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to -2}\frac{3x^2+5x-2}{4x^2+9x+2} \] Podstawienie \(x=-2\) daje \(\left[\tfrac{12-10-2}{16-18+2}\right]=\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkładamy: \[ 3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2),\\[6pt] 4x^2+9x+2=(4x+1)(x+2). \] Skracamy: \[ \lim_{x\to -2}\frac{(3x-1)(x+2)}{(4x+1)(x+2)} =\lim_{x\to -2}\frac{3x-1}{4x+1} =\frac{-6-1}{-8+1} =\frac{-7}{-7} =1. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to0}\frac{4x}{2\sin3x}= \left[\frac{0}{0}\right] \]

    Mamy wyrażenie nieoznaczone, więc liczymy pochodne:

    \((4x)'=4\)
    \((2 \sin 3x)'=2 \cos 3x\cdot 3=6\cos 3x\)

    i stosujemy regułę de l'Hospitala:

    \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x}{2 \sin 3 x} =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4}{6\cos 3x} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} \] Ponieważ \(\sin x\in[-1,1]\), to \(\frac{\sin x}{x}\) dąży do \(0\) przy \(x\to\infty\). Zatem \[ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0. \]
  • Chcemy obliczyć granicę jednostronną: \[ \lim_{x\to2^-}\frac{2x}{x^2-4} \] Po podstawieniu \(2\) w mianowniku mamy \(x^2-4\to0^-\) (gdy \(x\lt 2\), \(x^2-4\lt 0\)), licznik \(2x\to4^+\). Stąd \[ \frac{2x}{x^2-4}\to\frac{4^+}{0^-}=-\infty. \]
  • Chcemy obliczyć granicę jednostronną: \[ \lim_{x\to2^+}\frac{2x}{x^2-4} \] Teraz \(x^2-4\to0^+\) (przy \(x\gt 2\)), licznik \(2x\to4^+\), więc \[ \frac{2x}{x^2-4}\to\frac{4^+}{0^+}=+\infty. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to3}\frac{x^2-4}{x+1} \] Po podstawieniu \(x=3\) otrzymujemy \(\frac{9-4}{4}= \frac{5}{4}\), czyli \[ \lim_{x\to3}\frac{x^2-4}{x+1}=\frac{5}{4}. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} \] Po podstawieniu mamy \(\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkładamy: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \] więc \[ \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =\lim_{x\to1}(x+1) =2. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x-1} \] Podstawienie \(x=2\) daje \(\left[\tfrac{3}{1}\right]=3\), zatem \[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x-1}=3. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to-2}\frac{x^3+8}{x^2-4} \] Mamy \(\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkładamy: \[ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4),\\[6pt] x^2-4=(x-2)(x+2). \] Skracamy: \[ \lim_{x\to-2}\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-2)(x+2)} =\lim_{x\to-2}\frac{x^2-2x+4}{x-2} =\frac{4+4+4}{-4} =\frac{12}{-4} =-3. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-3x+2}{x-2} \] Po podstawieniu \(\left[\tfrac{4-6+2}{0}\right]=\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkład: \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2), \] więc \[ \lim_{x\to2}\frac{(x-1)(x-2)}{x-2} =\lim_{x\to2}(x-1) =1. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to4}\frac{x^2-2x-8}{x^2-9x+20} \] Podstawienie daje \(\left[\tfrac{16-8-8}{16-36+20}\right]=\left[\tfrac{0}{0}\right]\). Rozkładamy: \[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2),\\[6pt] x^2-9x+20=(x-5)(x-4). \] Skracamy: \[ \lim_{x\to4}\frac{(x-4)(x+2)}{(x-5)(x-4)} =\lim_{x\to4}\frac{x+2}{x-5} =\frac{6}{-1} =-6. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x+5}{3x^2-4x-1} \] Dzielimy przez \(x^2\): \[ =\lim_{x\to\infty}\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}{3-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}} =\frac{2}{3}. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to0}\frac{2\sin3x}{4x} \] Dzielimy przez \(x\): \[ =\lim_{x\to0}\frac{2\frac{\sin3x}{x}}{4} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x} =\frac{1}{2}\cdot3 =\frac{3}{2}. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x} \] Wiemy \(\sin\frac{1}{x}\in[-1,1]\), więc \(\left|x^2\sin\frac{1}{x}\right|\le x^2\). Mianownik ~\(x\). Zatem całość ~\(\frac{x^2}{x}=x\to0\). Stąd \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}=0. \]
  • Chcemy obliczyć granicę: \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x-\sin x} \] Dzielimy licznik i mianownik przez \(x\) : \[ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{x}+\frac{\sin x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{\sin x}{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\sin x}{x}} \] Zastanówmy się, co dzieje się z \(\frac{\sin x}{x}\) przy \(x \rightarrow \infty\).
    \(\sin x\) zawsze mieści się w przedziale od \(-1\) do \(1\), więc \(\frac{\sin x}{x}\) będzie dążyć do zera, ponieważ wyrażenie ograniczone dzielimy przez coraz większą liczbę. \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0 \] Podstawiamy do wcześniejszego wyrażenia: \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\sin x}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1 \]
  • Chcemy obliczyć granicę jednostronną: \[\lim_{x\to1^-}\frac{2}{x^2-1}=-\infty\] Po podstawieniu \(1\) pod \(x\) otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone \(\left[\frac{2}{0}\right]\).
    Musimy ustalić czy mianownik dąży do \(0\) od strony ujemnej czy dodatniej.
    Gdy \(x\to 1^-\) to wyrażenie \(x^2\) jest mniejsze od \(1\), czyli \(x^2-1\) jest ujemne, zatem: \[\lim_{x\to1^-}\frac{2}{x^2-1}=\left[\frac{2}{0^-}\right]=-\infty \]
  • Chcemy obliczyć granicę jednostronną: \[ \lim_{x\to1^+}\frac{2}{x^2-1} \] Dla \(x\to1^+\) mamy \(x^2-1\to0^+\), więc \[ \lim_{x\to1^+}\frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{0^+}=+\infty. \]
Strony z tym zadaniem
Sąsiednie zadania
Zadanie 4591Zadanie 4592
Zadanie 4593 (tu jesteś)
Zadanie 4594Zadanie 4595