Matura rozszerzona 2024 - maj
Poziom rozszerzony
Pliki do pobrania: Arkusz można też wydrukować w prawym górnym rogu strony według własnych preferencji.
Zadanie 1. (2 pkt)
W chwili początkowej \((t=0)\) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa \(80^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa \(20^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura \(T\) tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością \[ T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right) \cdot k^{-t}+T_{z} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:
\(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwill początkowej,
\(T_{p}\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(T_{z}\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(k\) - stała charakterystyczna dla danej ciecz.
\(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwill początkowej,
\(T_{p}\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(T_{z}\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(k\) - stała charakterystyczna dla danej ciecz.
Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury \(65^{\circ} \mathrm{C}\).
Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2. (2 pkt)
Oblicz granicę \[ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}} \] Zapisz obliczenia.
Zadanie 3. (3 pkt)
W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż \(36 \%\) tłuszczu, jest równe \(0{,}01\). Kontroli poddajemy \(10\) losowo wybranych opakowań ze śmietaną.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietana, która zawiera mniej niż \(36 \%\) tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4. (3 pkt)
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[ f(x)=\frac{x^{3}-3 x+2}{x} \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P\), o pierwszej współrzędnej równej \(2\), należy do wykresu funkcji \(f\). Prosta o równaniu \(y=a x+b\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\).
Oblicz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 5. (3 pkt)
Wykaż, że jeżeli \(\log _{5} 4=a\) oraz \(\log _{4} 3=b\), to \(\log _{12} 80=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}\).
Zadanie 6. (3 pkt)
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.
Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7. (4 pkt)
Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa \(105\). Liczby \(x, y\) oraz \(z\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Oblicz \(x, y\) oraz z. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8. (4 pkt)
Dany jest trójkąt \(A B C\), który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta \(ABC\) jest dwa razy większa od miary kąta \(BAC\).
Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek
\[ |A C|^{2}=|B C|^{2}+|A B| \cdot|B C| \]Zadanie 9. (4 pkt)
Dany jest kwadrat \(A B C D\) o boku długości \(a\). Punkt \(E\) jest środkiem boku \(C D\). Przekątna \(B D\) dzieli trójkąt \(A C E\) na dwie figury: \(A G F\) oraz \(C E F G\) (zobacz rysunek). 
Oblicz pola figur \(AGF\) oraz \(CEFG\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 10. (5 pkt)
Rozwiąż równanie \[ \sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3 \] w zbiorze \([0,2 \pi]\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 11. (5 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) środek \(S\) okręgu o promieniu \(\sqrt{5}\) leży na prostej o równaniu \(y=x+1\). Przez punkt \(A=(1,2)\), którego odległość od punktu \(S\) jest większa od \(\sqrt{5}\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(B\) i \(C\). Pole czworokąta \(ABSC\) jest równe \(15\).
Oblicz współrzędne punktu \(S\). Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[ x^{2}-(3 m+1) \cdot x+2 m^{2}+m+1=0 \] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}, x_{2}\) spełniające warunek \[ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot\left(x_{1}+x_{2}-3\right) \leq 3 m-7 \]
Zadanie 13. (6 pkt)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8 \sqrt{3}\).
Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem \[ P(a)=\frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}+\frac{13824 \sqrt{3}}{a} \]
Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem \[ P(a)=\frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}+\frac{13824 \sqrt{3}}{a} \] dla \(a \in(0,8 \sqrt{3}]\).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.