Zadanie 4331.
Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż \(4\).
Wykaż, że układ równań \[ \begin{align*} 4 a+4 b+4c & =80 \tag{1}\\ 2 ab+2 bc+2ca & =256 \tag{2} \end{align*} \] z niewiadomymi \(a\) oraz \(b\) ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od \(4\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(c \in\left[4, \frac{28}{3}\right]\).
Objętość \(V\) każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji \[ V(c)=c^{3}-20 c^{2}+128 c \] gdzie \(c \in\left[4, \frac{28}{3}\right]\) jest długością jednej \(z\) krawędzi bryły.
Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza. Zapisz obliczenia.