Zadanie 3821.
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) za pomocą fragmentów wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) (zobacz rysunek). Funkcje \(f\) oraz \(g\) są określone wzorami \(f(x) = x^2\) oraz \(g(x)=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+4\). Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt \(P = (-1, 1)\). 
Niech \(R\) będzie punktem leżącym na wykresie funkcji \(g\).
Wykaż, że odległość punktu \(R\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem \[|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}\] gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).
Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.
Oblicz współrzędne punktu \(K\), w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca \(K\) toru od początku \(P\)) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.
Zapisz obliczenia.
Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu \(R\) leżącego na wykresie funkcji \(g\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem \[|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}\] gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu \(R\) leżącego na wykresie funkcji \(g\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem \[|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}\] gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).
Powiązane tematy: