Aby równanie miało dwa różne rozwiązania, musi zachodzić warunek: \[ \Delta\gt0 \] \[ \Delta=(2m+1)^2-4\left(-3m^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}\right) \] \[ \Delta=4m^2+4m+1+12m^2+2m-1 \] \[ \Delta=16m^2+6m \] Zatem musi zachodzić nierówność: \[ 16m^2+6m\gt0 \] \[ 2m(8m+3)\gt0 \] \[ m\in\left(-\infty,-\frac{3}{8}\right)\cup(0,\infty) \] Oznaczmy pierwiastki równania przez \(x_1\) oraz \(x_2\). Chcemy, aby: \[ x_1\lt4 \quad \land \quad x_2\lt4 \] Zatem: \[ x_1-4\lt0 \quad \land \quad x_2-4\lt0 \] Skoro obie liczby \(x_1-4\) oraz \(x_2-4\) są ujemne, to ich suma jest ujemna, a iloczyn dodatni: \[ (x_1-4)+(x_2-4)\lt0 \] \[ (x_1-4)(x_2-4)\gt0 \] Z wzorów Viete'a mamy: \[ x_1+x_2=-(2m+1) \] \[ x_1x_2=-3m^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{4} \] Sprawdzamy pierwszy warunek: \[ (x_1-4)+(x_2-4)\lt0 \] \[ x_1+x_2-8\lt0 \] \[ -(2m+1)-8\lt0 \] \[ -2m-9\lt0 \] \[ m\gt-\frac{9}{2} \] Sprawdzamy drugi warunek: \[ (x_1-4)(x_2-4)\gt0 \] \[ x_1x_2-4x_1-4x_2+16\gt0 \] \[ x_1x_2-4(x_1+x_2)+16\gt0 \] \[ -3m^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}-4\bigl(-(2m+1)\bigr)+16\gt0 \] \[ -3m^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+8m+4+16\gt0 \] \[ -3m^2+\frac{15}{2}m+\frac{81}{4}\gt0 \] \[ -12m^2+30m+81\gt0 \] \[ 4m^2-10m-27\lt0 \] \[ m\in\left(\frac{5-\sqrt{133}}{4},\frac{5+\sqrt{133}}{4}\right) \] Łączymy wszystkie warunki: \[ m\in\left(-\infty,-\frac{3}{8}\right)\cup(0,\infty) \] \[ m\gt-\frac{9}{2} \] \[ m\in\left(\frac{5-\sqrt{133}}{4},\frac{5+\sqrt{133}}{4}\right) \] Zatem: \[ \boxed{m\in\left(\frac{5-\sqrt{133}}{4},-\frac{3}{8}\right)\cup\left(0,\frac{5+\sqrt{133}}{4}\right)} \]