Zadania maturalne CKE 2015 - poziom podstawowy

Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa:

Liczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa:

Liczba \( \log 24 \) jest równa:

Liczba \( 30 \) to \( p\% \) liczby \( 80 \), zatem:

\( 4\% \) liczby \( x \) jest równe \( 6 \), zatem:

Liczba \( y \) to \( 120\% \) liczby \( x \). Wynika stąd, że:

Rozwiązaniem równania \( \frac{x-3}{2-x}=\frac{1}{2} \) jest liczba:

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie \( x^2+5x+6=0 \) jest

Liczba \( 1 \) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \( f(x)=(2-m)x+1 \). Wynika stąd, że

Funkcja \( f \) jest określona wzorem \( f(x)=\begin{cases} -3x+4 &\text{dla }x\lt 1\\ 2x-1 &\text{dla }x\ge 1 \end{cases} \). Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

Rysunek przedstawia wykres funkcji \(y = f(x)\). Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji \(y = f(x + 1)\).

Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności \(|2 - x| \le 3\).

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem \( y=-x^2+4x-11 \).

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \).

Zbiorem rozwiązań nierówności \( x^2\ge 5 \) jest

Wykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)?

Dane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \( 5x^4-13=0 \)?

Wskaż liczbę rozwiązań równania \(\frac{11-x}{x^2-11}=0 \).

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( y=2x-7 \).

Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu \( y=4x+5 \).

Punkty \( A=(-1,3)\) i \(C=(7,9) \) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta \( ABCD \). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \( (x+3)^2+(y-1)^2=4 \) z osiami układu współrzędnych jest równa

Środek \( S \) okręgu o równaniu \( x^2+y^2+4x-6y-221=0 \) ma współrzędne

Dane są długości boków \(|BC|=5\) i \(|AC|=3\) trójkąta prostokątnego \( ABC \) o kącie ostrym \( \beta \) . Wtedy

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas

Kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)?

Kąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas:

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa \( 180^\circ \). Jaka jest miara kąta środkowego?

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa \( 40^\circ \). Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.

Odcinki \( BC\) i \(DE \) są równoległe. Długości odcinków \( AC, CE \) i \( BC \) są podane na rysunku. Długość odcinka \( DE \) jest równa

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 4 \) cm jest równe

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że

Liczby \(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa

Liczby \(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez \(6\) lub przez \(10\), jest

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa

Mediana danych: \(0, 1, 1, 2, 3, 1\) jest równa

Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa

wartość	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
liczebność	\(5\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy

O zdarzeniach losowych \(A\) i \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(B\subset A\), \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}3\). Wtedy

Przekątna sześcianu ma długość \(3\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(24\) cm². Objętość tego sześcianu jest równa

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(2 \times 3 \times 5\) ma długość

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości \(6\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:

Rozwiąż równanie \(\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac{1}{2}\).

Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \).

Rozwiąż nierówność \(x^2+6x-7\le 0\).

Rozwiąż równanie \(2x^3-x^2-6x+3=0\).

O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\) oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt \(P = (-2,3)\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Oblicz miejsca zerowe funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]

Naszkicuj wykres funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).

Wielomiany \(W(x)=ax(x+b)^2\ \) i \(\ V(x)=x^3+2x^2+x\) są równe. Oblicz \(a\) i \(b\).

Wyrażenie \(\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\) zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(2x-y-11=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(1,2)\).

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi \(Oy\), którego środkiem jest punkt \(S=(3, -5)\).

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S = (3, -5)\) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową \(CD\) trójkąta \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(-2, -1)\), \(B = (6, 1)\), \(C = (7, 10)\).

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).

Punkt \(D\) leży na boku BC trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD \) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB| = |AD| = |CD|\). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\).

Oblicz pole trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB| = 24\) i \(|AC| = |BC| = 13\).

Liczby \(4, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz \(c\).

Liczby \(x - 1, x, 5\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(x\).

Obwód czworokąta wypukłego \(ABCD\) jest równy \(50\) cm. Obwód trójkąta \(ABD\) jest równy \(46\) cm, a obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(36\) cm. Oblicz długość przekątnej \(BD\).

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - 2n - 24\) dla \(n \ge 1\)?

Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o \(2\) większa od cyfry jedności?

Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

Średnia arytmetyczna liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 0\) jest równa \(2\). Oblicz \(x\).

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości.

Oblicz medianę danych: \(0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1\).

Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności

wartość	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
liczebność	\(4\)	\(3\)	\(1\)	\(1\)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\) lub przez \(2\).

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(15\).

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego \(5\).

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}7\). Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \(B\backslash A\).

Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości \(12\). Wysokość stożka jest równa \(8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami. Udowodnij, że \(|BP| = |DR|\).

Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\sphericalangle CAD| = |\sphericalangle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC| = |CE|\).

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\).

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB| = 90\) oraz \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\) zbudowano kwadrat \(ACDE\) (patrz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i kąt \(|\sphericalangle EHA| = 90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\).

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).

Udowodnij, że jeśli:

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD| = |CD|\) oraz \(|AB| = |BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\sphericalangle ADC| = 5\cdot |\sphericalangle ACD| \) .

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).