Zadania maturalne CKE 2015 - poziom rozszerzony

Oblicz \(\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2\).

Miary dwóch kątów trójkąta wynoszą \(\frac{\pi }{6}\) i \(\frac{\pi }{5}\). Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedź podaj w stopniach.

Dane jest równanie \(\sin x = a^2 + 1\), z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których dane równanie nie ma rozwiązań.

Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)=\begin{cases} x+5 &\text{ dla } x\lt -5 \\ -x+2 &\text{ dla } -5\le x\lt 5 \\ x-6 &\text{ dla } x\ge 5 \end{cases} \). Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.

W kolejce do kasy biletowej ustawiły się cztery dziewczynki, a za nimi pięciu chłopców. Oblicz liczbę wszystkich możliwych ustawień osób w tej kolejce.

Rozwiąż równanie \(\log_5(\log_4(\log_2x))=0\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x+1}-1\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\ne -1\). Rozwiąż nierówność \(f(x)\gt f(2-x)\).

Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale 〈-2, 2〉 wzorem:
a) f(x) = 2^x - 1      b) f(x) = 2^{x - 1}.

Pole wycinka koła o promieniu 3 cm jest równe 2 cm². Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka.

Punkty A = (1, 1), B = (5, 5), C = (3, 5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD niebędącego równoległobokiem, w którym AB || CD.
a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
b) Oblicz pole tego trapezu.

Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować?

Dla jakich wartości parametru \(m\) reszta z dzielenia wielomianu \(x^{17}-m x^{15}+(m-2) x^{10}+2 x+m^2-2\) przez dwumian \(x-1\) jest równa 3?

Wyznacz równanie okręgu o środku A = (2, 3), stycznego do prostej o równaniu x - 2y + 1 = 0.

Niech \(A\) będzie zbiorem wszystkich liczb \(x\), które spełniają równość \(|x - 1| + |x - 3| = 2\). Niech \(B\) będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów \(4\) i \(6\) jest niewiększa niż \(4\). Zaznacz na osi liczbowej zbiory \(A\) i \(B\) oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do \(A\) i do \(B\).

Przedział \(\left (-\frac{3}{2}, 0 \right )\) jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{x} \lt m\) z niewiadomą \(x\). Oblicz \(m\).

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawarte są w osiach Ox i Oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej z osi układu współrzędnych. Narysuj tę krzywą.