Matura rozszerzona - zbiór zadań - proste, odcinki i okręgi

Wyznacz równanie okręgu o środku A = (2, 3), stycznego do prostej o równaniu x - 2y + 1 = 0.

Na rysunku jest przedstawiony trójkąt prostokątny \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(0,0)\), \(B=(4,0)\) i \(C=(4,4)\) oraz okrąg o środku \(C\), który dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach. Wyznacz równanie tego okręgu.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) trapez \(A B C D\) jest wpisany w okrąg o środku w punkcie \(S=(19,-11)\) i promieniu \(17 \sqrt{2}\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(A B\) jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna \(A C\) trapezu \(A B C D\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\).

Oblicz sinus kąta \(A B C\). Zapisz obliczenia.

Wykaż, że jeśli prosta o równaniu \(y=kx+l\) jest styczna do okręgu o równaniu \((x-k)^2+(y-l)^2=m^2\), gdzie \(k,l\in \mathbb{R} \) oraz \(m\gt 0\), to \(\frac{k^4}{k^2+1}=m^2\).

Trójkąt równoramienny \(ABC\) jest wpisany w okrąg o równaniu \((x-5)^2+(y+3)^2=5\). Podstawą trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(AB\) zawarty w prostej o równaniu \(x-y-7=0\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Rozważ wszystkie przypadki.

Okręgi \(o_1\) i \(o_2\) są dane, odpowiednio, równaniami \(x^2+y^2=1\) oraz \((x-6)^2+(y-3)^2=5\). Środki tych okręgów połączono odcinkiem, który przecina okrąg \(o_1\) w punkcie \(A\) oraz okrąg \(o_2\) w punkcie \(B\). Wyznacz współrzędne środka odcinka \(AB\).

Dany jest okrąg \(O_1\) o równaniu \((x-3)^2+y^2=36\) oraz okrąg \(O_2\) o równaniu \(x^2+(y-m)^2=m^2\). Dla jakich wartości parametru \(m\) okręgi \(O_1\) i \(O_2\) mają dokładnie jeden punkt wspólny? Dla znalezionych wartości parametru \(m\) wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

Dany jest punkt \(A=(0,0)\). Punkt \(B\), różny od punktu \(A\), należy do okręgu o równaniu \((x-2)^2+y^2=4\). Wykaż, że środek odcinka \(AB\) należy do okręgu o równaniu \((x-1)^2+y^2=1\).

Dwa boki trójkąta o polu równym \(20\) zawierają się w prostych prostopadłych \(k:ax+by-4a=0\) oraz \(l: (2b-1)x-ay-8b+4=0\). Trzeci bok tego trójkąta zawiera się w osi \(Oy\). Wyznacz wszystkie dodatnie wartości parametrów \(a\) i \(b\), dla których spełnione są warunki zadania.

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(-5,3)\) i \(B=(0,6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x-3y+1=0\).

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się w prostych o równaniach \(x+6y-12=0\); \(x+y-7=0\) oraz \(x-4y+18=0\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są:
okrąg o równaniu \((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=50\) i punkty \(A=(6,4)\) oraz \(B=(-6,8)\).
Punkt \(C\) leży na tym okręgu i \(|A C|=|B C|\).

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Prosta przechodząca przez punkty \(A = (8, −6)\) i \(B = (5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O = (0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą \(AB\).

Punkt \(A = (−3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x − 1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach \(2 x+y-4 m-4=0\) oraz \(x-3 y+5 m+5=0\) przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych \(\left(x_{P}, y_{P}\right)\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których współrzędne punktu \(P\) spełniają warunki: \[ x_{P}>0, y_{P}>0, y_{P} \geq x_{P}^{2} \quad \text { oraz } \quad 2<-\frac{8}{\left(y_{P}\right)^{2}}+\frac{8}{x_{P}} \] Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) z punktu \(M=(9,5)\) poprowadzono dwie proste: sieczną \(l\) oraz styczną \(k\) do okręgu o środku \(S\). Sieczna \(l\) przecięła okrąg w punkcie \(A=(-1,0)\). Punkt \(B\) jest punktem styczności prostej \(k\) i okręgu o środku \(S\). Kąt \(\alpha\) jest kątem pomiędzy średnicą okręgu przechodzącą przez punkt \(A\) oraz sieczną \(l\) oraz \(\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{2}\). Wyznacz równanie okręgu o środku \(S\). Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt prostokątny \(KLM\) o kącie prostym przy wierzchołku \(K\), ograniczony prostymi \(KL: 2x+3y+5=0\), \(LM: 7x+4y-2=0\) oraz prostą \(KM\). Wyznacz równanie prostej \(KM\), wiedząc, że pole trójkąta \(KLM\) jest równe \(13\).

Dane są okręgi o równaniach \(x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0\) i \(x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.