Matura rozszerzona - zbiór zadań - prosta i okrąg

Na rysunku jest przedstawiony trójkąt prostokątny \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(0,0)\), \(B=(4,0)\) i \(C=(4,4)\) oraz okrąg o środku \(C\), który dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach. Wyznacz równanie tego okręgu.

Wyznacz równanie okręgu o środku A = (2, 3), stycznego do prostej o równaniu x - 2y + 1 = 0.

Wykaż, że jeśli prosta o równaniu \(y=kx+l\) jest styczna do okręgu o równaniu \((x-k)^2+(y-l)^2=m^2\), gdzie \(k,l\in \mathbb{R} \) oraz \(m\gt 0\), to \(\frac{k^4}{k^2+1}=m^2\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są:
okrąg o równaniu \((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=50\) i punkty \(A=(6,4)\) oraz \(B=(-6,8)\).
Punkt \(C\) leży na tym okręgu i \(|A C|=|B C|\).

Dany jest okrąg \(O_1\) o równaniu \((x-3)^2+y^2=36\) oraz okrąg \(O_2\) o równaniu \(x^2+(y-m)^2=m^2\). Dla jakich wartości parametru \(m\) okręgi \(O_1\) i \(O_2\) mają dokładnie jeden punkt wspólny? Dla znalezionych wartości parametru \(m\) wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie, którego boki zawierają się w prostych o równaniach \(x+6y-12=0\); \(x+y-7=0\) oraz \(x-4y+18=0\).

Prosta przechodząca przez punkty \(A = (8, −6)\) i \(B = (5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O = (0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą \(AB\).

W okrąg o równaniu \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) wpisano trójkąt \(ABC\). Bok \(AB\) tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu \(4x - 3y + 2 = 0\). Wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) tak, że \(|AD| = 4\cdot |DB|\).

Okręgi \(o_1\) i \(o_2\) są dane, odpowiednio, równaniami \(x^2+y^2=1\) oraz \((x-6)^2+(y-3)^2=5\). Środki tych okręgów połączono odcinkiem, który przecina okrąg \(o_1\) w punkcie \(A\) oraz okrąg \(o_2\) w punkcie \(B\). Wyznacz współrzędne środka odcinka \(AB\).

Trójkąt równoramienny \(ABC\) jest wpisany w okrąg o równaniu \((x-5)^2+(y+3)^2=5\). Podstawą trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(AB\) zawarty w prostej o równaniu \(x-y-7=0\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Rozważ wszystkie przypadki.

Dany jest punkt \(A=(0,0)\). Punkt \(B\), różny od punktu \(A\), należy do okręgu o równaniu \((x-2)^2+y^2=4\). Wykaż, że środek odcinka \(AB\) należy do okręgu o równaniu \((x-1)^2+y^2=1\).

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(-5,3)\) i \(B=(0,6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x-3y+1=0\).

Dane są okręgi o równaniach \(x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0\) i \(x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.