Matura podstawowa 2023 - maj

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów. Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}\) jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

Liczba \(\log_927+\log_93\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\] jest przedział

Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

Równanie \(\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

Rozwiąż równanie \[3x^3-2x^2-12x+8=0\]

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A–D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ……… oraz ……… .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax + b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\). Liczba \(a\) oraz liczba \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczb

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 2^n \cdot (n + 1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Wyraz \(a_4\) jest równy

Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a - 1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910\) zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30\) zł.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O = (0, 0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P = (-3, 1)\) (zobacz rysunek). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha\) jest równe

W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150^\circ\). Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę \(70^\circ\) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach \[k: y = \frac{2}{3}x\] \[l: y = -\frac{3}{2}x + 13\] Proste \(k\) oraz \(l\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \[y = -\frac{1}{3}x + 2\] Prosta o równaniu \(y = ax + b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P = (3, 5)\), gdy

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\) . Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\) i ma długość równą \(6\) (zobacz rysunek).

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Podstawą tego ostrosłupa jest

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0, 5, 7\) (np. \(57\ 075, 55\ 555\)), jest

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

1.	Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa
2.	Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n) = -n^2 + 22n + 279\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n \ge 1\) i \(n \le 30\).