Matura podstawowa 2022 - sierpień

Liczba \(\frac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa

Liczba \(\log_232-\log_28\) jest równa

Liczba \((5-2\sqrt{3})^2\) jest równa

Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^2(x+1)=0\) jest liczba

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{8x-3}{4}\gt6x\) jest przedział

Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x − 1)(2x − 2)(x + 2) = 0\) jest równa

Punkt \(A = (1, 2\)) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x) = (m^2 - 3)x^3 - m^2 + m + 1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = x^2 + bx + c\) osiąga dla \(x = 2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x - 2)(x + 1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -2, 5)\). Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x-1)\). Wykres funkcji \(g\) można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji \(f\). Dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór

Dane są ciągi \(a_n = 3n\) oraz \(b_n = 4n - 2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba \(10\)

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy

Nie istnieje kąt ostry \(\alpha \) taki, że

Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta. Miara kąta \(ASC\) jest równa

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) okręgu kąt o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek). Wtedy

Pole prostokąta jest równe \(16\), a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin \alpha = 0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy

Punkty \(A = (1, -3)\) oraz \(C = (-2, 4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne

Punkty \(A = (-6, 5)\), \(B = (5, 7)\), \(C = (10, -3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa

Obrazem prostej o równaniu \(y = 2x + 5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7 ∶ 3\). Podstawą tego graniastosłupa jest

Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) jest równa \(20\). Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a - 10\), \(b + 30\), \(c\), \(d\) jest równa

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(300\) o wszystkich cyfrach parzystych jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy

Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\ge3\)

Trójwyrazowy ciąg \((x, y - 4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2\gt0\]

Rozwiąż równanie \[\frac{4}{x+2}=x-1\]

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) - na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).

Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5, -4, 1, 2, 3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD| = 15\), a ponadto \(|CD| = 3 + |BC|\) oraz \(|\sphericalangle CDG| = 60^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.