Matura rozszerzona 2021 - marzec - próbna CKE

Liczba \(\log_29\) jest równa

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest \(10\) kul: \(8\) białych i \(2\) czarne, w drugiej jest \(8\) kul: \(5\) białych i \(3\) czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Prosta dana równaniem \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\) jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=x^4-3x^3+x^2+x+5\) w punkcie

Liczba \(x\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). Liczba \(y\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\). Wynika stąd, że liczba \(x-y\) jest równa

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa \(13\) i żadna cyfra nie jest zerem. W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2-6xy+3y^2-2x-4\gt0\).

Rozwiąż równanie: \[\sin \left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\cdot \cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Na przeciwprostokątnej \(AB\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano kwadrat \(ABDE\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy \(k\). Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa \(\frac{1}{2k}\).

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(R=5\sqrt{2}\). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\). Kąty wewnętrzne \(BAD\) i \(ADC\) czworokąta \(ABCD\) są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy \(\frac{3}{8}\). Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Reszty z dzielenia wielomianu \(W(x)=x^4+bx^3+cx^2\) przez dwumiany \((x-2)\) i \((x-3)\) są odpowiednio równe \((−8)\) oraz \((−18)\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-4)\)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(4\), a wysokość graniastosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(AFB\).

Czterowyrazowy ciąg \((a, b, c, d)\) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg \((a+100, b, c)\) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu \((a, b, c, d)\).

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: \(y=x+b\), \(y=x+2b\), \(y=b\), \(y=2\) gdzie liczba rzeczywista \(b\) spełnia warunki: \(b\ne 2\) i \(b\ne 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(b\), dla których pole tego równoległoboku jest równe \(1\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(x^2-2ax+a^3-2a=0\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(ABC\), których wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na wykresie funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{9}{x^4}\) dla \(x\ne 0\). Punkt \(C\) ma współrzędne \(\left(0, -\frac{1}{3}\right)\), a punkty \(A\) i \(B\) są położone symetrycznie względem osi \(Oy\) (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\), dla których pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.