Matura podstawowa 2013 - listopad - próbna Operon
Poziom podstawowy
Arkusz z zadaniami na stronie wydawnictwa OPERONKrótkie odpowiedzi do zadań znajdują się na końcu arkusza, który można pobrać ze strony wydawnictwa OPERON (link powyżej).
Zadanie 1. (1 pkt)
Suma liczby odwrotnej do liczby \( -4\frac{3}{5} \) i liczby przeciwnej do liczby \( \frac{18}{23} \) jest równa:
A.\(-1 \)
B.\(0 \)
C.\(\frac{21}{23} \)
D.\(1 \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Wartość wyrażenia \( \frac{1}{2}\log_{3}\!15-\log_{3}\!\sqrt{5} \) jest równa:
A.\(-1 \)
B.\(\log_{3}\!3\sqrt{5} \)
C.\(\frac{1}{2} \)
D.\(1 \)
Zadanie 3. (1 pkt)
Suma przedziałów \( (-\infty ,-11)\cup (7,+\infty) \) jest zbiorem rozwiązań nierówności:
A.\(|x+1|>10 \)
B.\(|x+2|>9 \)
C.\(|x-2|>11 \)
D.\(|x+1|\lt 10 \)
Zadanie 4. (1 pkt)
Niech \(k = 2 - 3\sqrt{2}\), zaś \(m = 1 - \sqrt{2}\). Wówczas wartość wyrażenia \(k^2 - 12m\) jest równa:
A.\( 21+12\sqrt{2} \)
B.\( 21-12\sqrt{2} \)
C.\( 10 \)
D.\( 34 \)
Zadanie 5. (1 pkt)
Liczba \(a\) stanowi \(40\%\) liczby \(b\). Wówczas:
A.\( b=0{,}4a \)
B.\( b=0{,}6a \)
C.\( b=2{,}5a \)
D.\( b=0{,}25a \)
Zadanie 6. (1 pkt)
Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x+3}{x^3+4x}\) jest zbiór:
A.\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,0 \} \)
B.\( \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \)
C.\( \mathbb{R} \)
D.\( \mathbb{R} \backslash \{ -2,0,2 \} \)
Zadanie 7. (1 pkt)
Proste o równaniach \(-3y - mx + 12 = 0\) oraz \(y = 6x - 12\) są prostopadłe dla \(m\) równego:
A.\( \frac{1}{2} \)
B.\( -18 \)
C.\( -\frac{1}{2} \)
D.\( 6 \)
Zadanie 8. (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji \(f(x) = -2(x + 3)(x - 4)\) jest przedział:
A.\( \left ( -\infty , 24\frac{1}{2} \right \rangle \)
B.\( \left \langle -24\frac{1}{2},+\infty \right ) \)
C.\( \left \langle 24\frac{1}{2},+\infty \right ) \)
D.\( \left \langle -25\frac{1}{2},+\infty \right ) \)
Zadanie 9. (1 pkt)
Na wykresie przedstawiony jest trójmian \(y = ax^2 + bx + c\). 
Wynika z tego, że:
Wynika z tego, że: A.\( b\lt 0 \)
B.\( b>0 \)
C.\( b\le 0 \)
D.\( b\ge 0 \)
Zadanie 10. (1 pkt)
Wielomian \(W(x)\) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba \(-1\). Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:
A.\( -2(x-1)^2(x^2+1) \)
B.\( (x+1)^2(x-4) \)
C.\( -(x+1)^2(x^2+3) \)
D.\( (x-1)(x+1)(x+2)(x-3) \)
Zadanie 11. (1 pkt)
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0\) wynosi:
A.\( 5 \)
B.\( 4 \)
C.\( 3 \)
D.\( 2 \)
Zadanie 12. (1 pkt)
Dana jest funkcja \(h(x)=\left ( -\frac{1}{3}m+2 \right)x+\frac{3}{2}m-1\). Funkcja ta dla argumentu \(0\) przyjmuje wartość \(5\). Wówczas:
A.\( m=9 \)
B.\( m=6 \)
C.\( m=4 \)
D.\( m=2 \)
Zadanie 13. (1 pkt)
Ciąg \((b_n)\) określony jest wzorem \(b_n=(-1)^{2n+3}\cdot (n+1)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa:
A.\( -5 \)
B.\( -1 \)
C.\( 1 \)
D.\( 5 \)
Zadanie 14. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
A.\( 21 \)
B.\( 23 \)
C.\( 24 \)
D.\( 3 \)
Zadanie 15. (1 pkt)
Pan Nowak wpłacił do banku \(k\) zł na procent składany. Oprocentowanie w tym banku wynosi \(4\%\) w skali roku, a odsetki kapitalizuje się co pół roku. Po \(6\) latach oszczędzania Pan Nowak zgromadzi na koncie kwotę:
A.\( k(1+0{,}02)^{12} \) zł
B.\( k(1+0{,}04)^{12} \) zł
C.\( k(1+0{,}02)^6 \) zł
D.\( k(1+0{,}4)^6 \) zł
Zadanie 16. (1 pkt)
W trójkącie równoramiennym \(ABC\) o wysokościach \(CD\) i \(AE\) podstawa \(AB\) ma długość \(8\) cm, a odcinek \(BE\) ma długość \(3\) cm. 
Długość odcinka \(AC\) jest równa:
Długość odcinka \(AC\) jest równa: A.\( 6 \) cm
B.\( \frac{32}{3} \) cm
C.\( \frac{28}{3} \) cm
D.\( \frac{33}{2} \) cm
Zadanie 17. (1 pkt)
W czworokącie \(OBMA\) kąty wewnętrzne \(AOB\) i \(AMB\) mają równe miary. 
Wówczas kąt \(\alpha \) ma miarę:
Wówczas kąt \(\alpha \) ma miarę: A.\( 160^\circ \)
B.\( 120^\circ \)
C.\( 240^\circ \)
D.\( 210^\circ \)
Zadanie 18. (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(7\), zaś długość przeciwprostokątnej jest równa \(8\). Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy:
A.\( \frac{15}{7} \)
B.\( \frac{8}{15} \)
C.\( \frac{\sqrt{15}}{7} \)
D.\( \frac{7\sqrt{15}}{15} \)
Zadanie 19. (1 pkt)
Długość odcinka \(BD\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\) jest równa: 
A.\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)
B.\( 4 \)
C.\( 4\sqrt{3} \)
D.\( 4\sqrt{2} \)
Zadanie 20. (1 pkt)
Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe \(\frac{16}{3}\pi \). Obwód tego trójkąta jest równy:
A.\( 12\sqrt{3} \)
B.\( 24 \)
C.\( 12 \)
D.\( 36 \)
Zadanie 21. (1 pkt)
Długość okręgu opisanego równaniem \(x^2-4x+y^2-4=0\) jest równa:
A.\( 4\sqrt{2}\pi \)
B.\( 4\pi \)
C.\( 2\sqrt{2}\pi \)
D.\( 8\sqrt{2}\pi \)
Zadanie 22. (1 pkt)
Punkty \(A=(-2,4)\) i \(C=(-6,2)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Zatem promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy:
A.\( 10 \)
B.\( 2 \)
C.\( \sqrt{5} \)
D.\( \sqrt{10} \)
Zadanie 23. (1 pkt)
Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,6,8,12,14,15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wybierzemy liczbę, której dzielnikiem jest liczba \(3\), wynosi:
A.\( \frac{5}{9} \)
B.\( \frac{4}{9} \)
C.\( \frac{1}{3} \)
D.\( \frac{2}{3} \)
Zadanie 24. (1 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym objętość jest równa \(32\), zaś krawędź podstawy jest równa \(4\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
A.\( \frac{2}{3} \)
B.\( \frac{4}{3} \)
C.\( 2 \)
D.\( 6 \)
Zadanie 25. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność: \(-2x^2+3x\lt 4\).
Zadanie 26. (2 pkt)
Dany jest wielomian \(W(x)=-2x^3+3x^2-(k+2)x-6\). Wyznacz wartość \(k\), wiedząc, że liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Zadanie 27. (2 pkt)
Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.
Zadanie 28. (2 pkt)
Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.
Zadanie 29. (2 pkt)
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.
Zadanie 31. (4 pkt)
Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?
Zadanie 32. (5 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.
Zadanie 33. (5 pkt)
Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?