W urnie jest \(8\) kul: \(4\) białe i \(4\) czarne. Wybieramy losowo bez zwracania 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana kula będzie czarna, gdy pierwsza wylosowana kula była biała.
Wprowadźmy oznaczenia:
\(A\) - druga wylosowana kula jest czarna,
\(B\) - pierwsza wylosowana kula jest biała,
\(A\cap B\) - pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga wylosowana kula jest czarna.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Liczymy potrzebne prawdopodobieństwa:
\(P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
\(P(A\cap B)=\frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{2}{7}\)
Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{7}\]