a)
Wprowadźmy oznaczenia:
\(A\) - wybrano rodzinę z dwoma chłopcami,
\(B\) - młodsze dziecko jest chłopcem,
\(A\cap B\) - młodsze dziecko jest chłopcem i starsze dziecko jest chłopcem.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Młodsze dziecko może być z równym prawdopodobieństwem chłopcem jak i dziewczynką. Zatem: \[P(B)=\frac{1}{2}\]
Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\). Prawdopodobieństwo, że młodsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\) oraz prawdopodobieństwo, że starsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\), zatem: \[P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]
Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}\]
b)
Wprowadźmy oznaczenia:
\(A\) - wybrano rodzinę z dwoma chłopcami,
\(B\) - w rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec,
\(A\cap B\) - w rodzinie jest dwóch chłopców.
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). W rodzinie mamy dwoje dzieci i chcemy, żeby był co najmniej jeden chłopiec, zatem mamy \(3\) możliwości: \[(\text{chłopiec}, \text{dziewczynka}),\quad (\text{dziewczynka},\text{chłopiec}),\quad (\text{chłopiec},\text{chłopiec})\] Łączne wszystkich możliwości jest \(4\): \[(\text{chłopiec}, \text{dziewczynka}),\quad (\text{dziewczynka},\text{chłopiec}),\quad (\text{chłopiec},\text{chłopiec}),\quad (\text{dziewczynka},\text{dziewczynka}),\] Zatem: \[P(B)=\frac{3}{4}\]
Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\). Prawdopodobieństwo, że młodsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\) oraz prawdopodobieństwo, że starsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\), zatem: \[P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]
Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{3}\]