Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną i iloczynową

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci ogólnej, czyli: \[ f(x)=ax^2+bx+c \] Pokażemy teraz jak zamienić wzór powyższej funkcji na postać kanoniczną i iloczynową.
Żeby zamienić wzór funkcji kwadratowej na postać kanoniczną, to wystarczy obliczyć \(p\) i \(q\). Korzystamy ze wzorów: \[\begin{split} p&=\frac{-b}{2a}\\[6pt] q&=\frac{-\Delta }{4a} \end{split}\] Po wyliczeniu \(p\) i \(q\) zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej korzystając ze wzoru: \[ f(x)=a(x-p)^2+q \]
Żeby zamienić wzór funkcji kwadratowej na postać iloczynową, to należy obliczyć \(x_1\) i \(x_2\). Liczymy deltę ze wzoru: \[ \Delta =b^2-4ac \] Jeżeli \(\Delta \ge 0\) to obliczamy \(x_1\) i \(x_2\) ze wzorów: \[\begin{split} {x}_{1}&=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\ {x}_{2}&=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \end{split}\] Po wyliczeniu \(x_1\) i \(x_2\) zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej korzystając ze wzoru: \[ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \] Uwaga! Jeżeli \(\Delta = 0\), to wystarczy policzyć \(x_1\) ze wzoru: \[ x_1=\frac{-b}{2a} \] Postać iloczynową możemy wówczas zapisać krócej: \[ f(x)=a(x-x_1)^2 \]
Przekształć wzór funkcji \(f(x) = x^2 + 5x - 6\) na postać kanoniczną i iloczynową
Zacznijmy od wypisania współczynników liczbowych \(a\), \(b\) i \(c\) z danej postaci ogólnej:
\[\begin{split} &a=1\\[10pt] &b=5\\[10pt] &c=-6 \end{split}\] Teraz obliczymy deltę: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot 1\cdot (-6) = 25 + 24 = 49\] Jako pierwszą wyznaczymy postać kanoniczną. Do tego celu musimy obliczyć \(p\): \[ p=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot 1}=-\frac{5}{2} \] oraz \(q\): \[ q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-49}{4\cdot 1}=-\frac{49}{4} \] Teraz możemy już zapisać postać kanoniczną: \[\begin{split} f(x)&=a(x-p)^2+q\\[6pt] f(x)&=1\cdot \left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^2+\left(-\frac{49}{4}\right)\\[6pt] f(x)&=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{49}{4} \end{split} \] Teraz wyznaczymy postać iloczynową. Obliczamy miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\): \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-5-7}{2}=-6\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-5+7}{2}=1 \end{split}\] Teraz możemy już zapisać postać iloczynową: \[\begin{split} f(x)&=a(x-x_1)(x-x_2)\\[6pt] f(x)&=1\cdot \Bigl (x-(-6)\Bigl ) (x-1))\\[6pt] f(x)&=(x+6)(x-1) \end{split} \]